Полярное множество

- 1) П. м. аналитической функции f(z) комплексных переменных z=(z1,...,zn), п [img: http://localhost:8080/file/041731-153.jpg] 1,- такое множество Рточек нек-рой области Dкомплексного пространства С n, что: а) f(z) голоморфна всюду в [img: http://localhost:8080/file/041731-154.jpg]; б) f(z) не продолжается аналитически ни в одну точку Р;в) для любой точки [img: http://localhost:8080/file/041731-155.jpg] существуют такие окрестность Ua и голоморфная в Ua функция [img: http://localhost:8080/file/041731-156.jpg], что голоморфная в [img: http://localhost:8080/file/041731-157.jpg] функция pa(z)=qa(z)f(z).продолжается голоморфно в Ua. Во всякой точке [img: http://localhost:8080/file/041731-158.jpg] имеем qa(a)=0. П. м. Рсостоит из полюсов [img: http://localhost:8080/file/041731-159.jpg]. функции f(z), в к-рых [img: http://localhost:8080/file/041731-160.jpg], и точек неопределенности [img: http://localhost:8080/file/041731-161.jpg] функции f(z), в к-рых pa(a)=0 (предполагается, что pa(z).и qa(z).не имеют общих множителей, голоморфных и равных нулю в а). Всякое П. м. есть аналитич. множество комплексной размерности п-1. 2) П. м. в теории потенциала - множество Еточек евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/041731-162.jpg], такое, что существует потенциал [img: http://localhost:8080/file/041731-163.jpg], нек-рой борелевской меры m, принимающий значение [img: http://localhost:8080/file/041731-164.jpg] в точках Еи только в них. В случае логарифмического потенциала при n=2 и ньютонова потенциала при [img: http://localhost:8080/file/041731-165.jpg] для того, чтобы ограниченное множество Ебыло П. м., необходимо и достаточно, чтобы Ебыло множеством типа Gd и имело нулевую внешнюю емкость. При этом в определении П. м. можно заменить "потенциал" на "супергармоническую функцию". Основные свойства П. м. для этого случая: а) множество {а}, состоящее из одной точки [img: http://localhost:8080/file/041731-166.jpg], есть П. м.; б) счетное объединение П. м. есть П. м.; в) любое П. м. имеет лебегову меру нуль в [img: http://localhost:8080/file/041731-167.jpg]; г) при конформных отображениях П. м. переходит в П. м. Локальный критерий П. м. см. в ст. Разреженность множества.