Полярное разложение

1) П. р. линейного преобразования - разложение линейного преобразования конечномерного евклидова (или унитарного) пространства Lв произведение самосопряженного и ортогонального (соответственно унитарного) преобразования. Каждое линейное преобразование Апространства Lдопускает П. р. A=S.U, где S - положительно полуопределенное самосопряженное линейное преобразование, a U - ортогональное (или унитарное) линейное преобразование, причем Sопределяется единственным образом. Если Аневырожденно, то преобразование Sявляется даже положительно определенным, а Uтакже определяется однозначно. Для одномерного унитарного пространства П. р. совпадает с представлением комплексного числа z в тригонометрия, форме. А. Л. Онищик. 2) П. р. оператора - представление оператора А, действующего в гильбертовом пространстве, в виде A = UT, где U - частично изометрический, а Т - положительный операторы. Всякий замкнутый оператор Адопускает П. р., причем Т=(А*А)1/2 (часто используют обозначение T=|A|), a Uотображает замыкание [img: http://localhost:8080/file/041732-1.jpg] области определения сопряженного оператора Ана замыкание области значений [img: http://localhost:8080/file/041732-2.jpg] оператора А(теорема Неймана, см. [1]). П. р. становится единственным, если потребовать, чтобы начальное и конечное подпространства оператора Uсовпадали соответственно с [img: http://localhost:8080/file/041732-3.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041732-4.jpg]. С другой стороны, Uвсегда можно выбрать унитарным, изометрическим или коизометриче-ским - в зависимости от соотношения коразмерностей подпространств [img: http://localhost:8080/file/041732-5.jpg] и RA. В частности, если [img: http://localhost:8080/file/041732-6.jpg] то можно выбрать Uунитарным и найти такой эрмитов оператор Ф, что U=ехр(iФ). Тогда П. р. оператора Азапишется в виде А = |A|ехр(iФ), полностью аналогичном П. р. комплексного числа. Перестановочность сомножителей в П. р. имеет место тогда и только тогда, когда оператор нормален. Получен (см. [2], |3]) аналог П. р. для операторов в пространстве с индефинитной метрикой. 3) П. р. функционала на алгебре Неймана - представление нормального функционала f на алгебре Неймана А в виде f= up, где р - положительный нормальный функционал на А, [img: http://localhost:8080/file/041732-7.jpg] - частичная изометрия (то есть и*и и ии*- проекторы), умножение понимается как действие на функционал роператора, сопряженного к левому умножению на ив А:f(x)=p(ux).для всех [img: http://localhost:8080/file/041732-8.jpg]. П. р. всегда можно осуществить таким образом, чтобы выполнялось условие: u*f=p. При этом условии П. р. определено однозначно. Всякий ограниченный линейный функционал f на произвольной C*-алгебре Аможно рассматривать как нормальный функционал на универсальной обертывающей алгебре Неймана А";соответствующее П. р. f=up наз. обертывающим полярным разложением функционала f. Сужение функционала рна Аназывается абсолютной величиной функционала и обозначается |f|; следующие свойства однозначно определяют функционал [img: http://localhost:8080/file/041732-9.jpg] В случае, когда А=С (Х)-алгебра всех непрерывных функций на компакте, абсолютная величина функционала соответствует полной вариации определенной им меры. П. р. функционала во многом позволяет сводить изучение функционалов на C*-алгебрах к изучению положительных функционалов. С его помощью, напр., можно построить для каждого [img: http://localhost:8080/file/041732-10.jpg] такое представление p, алгебры А, в к-ром f реализуется векторно (т. е. существуют векторы x, h из Hp такие, что f(x) = (p(x)x, h), [img: http://localhost:8080/file/041732-11.jpg]),- таким свойством будет обладать представление p|f|, построенное по положительному функционалу p|f| с помощью конструкции Гельфанда - Наймарка - Сегала ГНС-конструкции). 4) П. р. элемента С*- алгебры - представление элемента С*-алгебры в виде произведения положительного элемента на частично изометрический. П. р. возможно не для всех элементов: в обычном П. р. оператора Тв гильбертовом пространстве положительный сомножитель принадлежит С*-алгебре, порожденной Т, но о частично изометрическом сомножителе можно утверждать лишь, что он принадлежит порожденной Талгебре Неймана. Поэтому определяют и используют т. н. обертывающее П. р. элемента [img: http://localhost:8080/file/041732-12.jpg]: a=ut, где [img: http://localhost:8080/file/041732-13.jpg] - частично изометрич. элемент универсальной обертывающей алгебры Неймана А " (предполагается, что Аканонически вложена в А ").