Понтрягина инвариант

инвариант оснащенных перестроек поверхности с заданным на ней оснащением. Пусть (М 2, U) - замкнутая ориентируемая поверхность с n-мерным оснащением Uв Sn+2, т. е. тривиализацией нормального га-мерного расслоения над поверхностью М 2 в Sn+2. Любой элемент [img: http://localhost:8080/file/041732-56.jpg] (М 2, [img: http://localhost:8080/file/041732-57.jpg]). может быть реализован гладко иммерсированной окружностью с самопересечениями, к-рые являются только двойными и трансверсальными. Пусть выбрана и зафиксирована нек-рая ориентация окружности S1;пусть и 1 (у), u2(y),..., и п (у) - ортогональные векторы, возникающие из оснащения U, ограниченного на точку [img: http://localhost:8080/file/041732-58.jpg] - вектор, касательный в точке f(у).к кривой C=f(y), согласно выбранной ориентации S1; un+1(y).- вектор, касательный к М 2 в точке f(y), ортогональный и п+2 (у). и направленный так, что последовательность векторов и 1 (у),..., и n (у), un+1(y), и п+2 (у).дает стандартную ориентацию сферы Sn+2. Возникающее отображение [img: http://localhost:8080/file/041732-59.jpg] задает элемент из группы n1(SOn+2), к-рая при [img: http://localhost:8080/file/041732-60.jpg] изоморфна [img: http://localhost:8080/file/041732-61.jpg]. Пусть b=0, если hгомотопно нулю, и b=1, если h не гомотопно нулю, и пусть значение функции Ф 0: H1(M2, [img: http://localhost:8080/file/041732-62.jpg]) [img: http://localhost:8080/file/041732-63.jpg] равно сумме по mod 2 числа двойных точек кривой С, реализующей элемент z, и числа b, определенного по кривой С. Так, определенное значение Ф 0(z) зависит только от гомология, класса z, и функция Ф 0(z) удовлетворяет следующему условию: [img: http://localhost:8080/file/041732-64.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041732-65.jpg] - форма пересечений одномерных гомологии поверхности М 2. аrf-инвариант функции Ф 0 и наз. инвариантом Понтрягина пары (М 2, U). Пара (М 2, U).оснащение перестраивается до пары (S2, U).тогда и только тогда, когда П. и. пары (M2, U).равен нулю (теорема Понтрягина). П. и. может быть реализован (n+2)-мерным оснащением на торе, [img: http://localhost:8080/file/041732-66.jpg], и является единственным инвариантом двумерных оснащенных кобордизмов. П. и. задает изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041732-67.jpg]