Порядка соотношение

, сравнение функций, О - о-с оотношения, асимптотические соотношения,- понятие, возникающее при изучении поведения одной функции относительно другой в окрестности неж-рой точки (быть может, бесконечной). Пусть x0- предельная точка множества Е. Если для функций f(x).и g(x).существуют такие постоянные с>0 и d>0, что [img: http://localhost:8080/file/041733-171.jpg] при |x-x0|<d, [img: http://localhost:8080/file/041733-172.jpg], то говорят, что f является ограниченной по сравнению с gфункцией в нек-рой окрестности точки х 0, и пишут [img: http://localhost:8080/file/041733-173.jpg] (читается: " f(x) есть Обольшое от g(x)"); [img: http://localhost:8080/file/041733-174.jpg]. означает, что рассматриваемое свойство имеет место лишь в нек-рой окрестности точки х 0. Естественным образом это определение переносится на случай [img: http://localhost:8080/file/041733-175.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041733-176.jpg] Если функции f(x) и g(x).такие, что f=O(g).и g=O(f).при [img: http://localhost:8080/file/041733-177.jpg], то они наз. функциями одного порядка при [img: http://localhost:8080/file/041733-178.jpg]. Напр., если функции a(x), b(х).таковы, что [img: http://localhost:8080/file/041733-179.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041733-180.jpg] и существует предел [img: http://localhost:8080/file/041733-181.jpg] то они одного порядка при [img: http://localhost:8080/file/041733-182.jpg]. Две функции f(x).и g(x).наз. эквивалентными (асимптотически равными) при [img: http://localhost:8080/file/041733-183.jpg] и пишут f~g, если в нек-рой окрестности точки х 0, кроме, быть может, самой точки х 0, определена такая функция j(х), что [img: http://localhost:8080/file/041733-184.jpg] (*) Условие эквивалентности двух функций симметрично, т. е. если f~g, то и g~f при [img: http://localhost:8080/file/041733-185.jpg], и транзитивно, т. е. если f~g и g~h, то f~h при [img: http://localhost:8080/file/041733-186.jpg]. Если в нек-рой окрестности точки x0 при [img: http://localhost:8080/file/041733-187.jpg] справедливы неравенства [img: http://localhost:8080/file/041733-188.jpg], то условие (*) эквивалентно любому из следующих [img: http://localhost:8080/file/041733-189.jpg] Если a(x).e(x)f(x), где [img: http://localhost:8080/file/041733-190.jpg], то говорят, что ее является бесконечно малой функцией по сравнению с функцией f, и пишут a= о(f) при [img: http://localhost:8080/file/041733-191.jpg] (читается: "а есть о малое от f"). Если [img: http://localhost:8080/file/041733-192.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041733-193.jpg], то a=о(f), когда. В случае, если f является бесконечно малой [img: http://localhost:8080/file/041733-194.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041733-195.jpg], то говорят, что функция a=о(f) при [img: http://localhost:8080/file/041733-196.jpg] является бесконечно малой более высокого порядка, чем f. Если же g(x).и [j(x)]k - величины одного порядка, то говорят, что gявляется величиной порядка kотносительно f. Все формулы указанного выше вида наз. асимптотическими оценками, они наиболее интересны для бесконечно малых и бесконечно больших функций. Примеры: [img: http://localhost:8080/file/041733-197.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041733-198.jpg] - любые положительные числа); [img: http://localhost:8080/file/041733-199.jpg]. Некоторые свойства символов ои О: [img: http://localhost:8080/file/041733-200.jpg] если 0<x<x0 и f=O(g), то [img: http://localhost:8080/file/041733-201.jpg] Формулы, содержащие о-, О-символы, читаются только слева направо, это не исключает того, что отдельные формулы оказываются справедливыми и при чтении справа налево. Символы ои О для функций комплексного переменного и для функций многих переменных вводятся аналогично тому, как они были определены выше для функций одного действительного переменного. М. И. Шабунин.