Порядковая статистика

-член вариационного ряда, построенного по результатам наблюдений. Пусть наблюдается случайный вектор Х=(Х 1, Х 2,..., Х п), принимающий значения х=(х 1, х 2,..., х п).в n-мерном евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041734-1.jpg], и пусть в [img: http://localhost:8080/file/041734-2.jpg] задана функция [img: http://localhost:8080/file/041734-3.jpg], определенная по следующему правилу: [img: http://localhost:8080/file/041734-4.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041734-5.jpg] - вектор из [img: http://localhost:8080/file/041734-6.jpg], полученный из вектора хв результате перестановки его координат х 1, х 2,..., х n в возрастающем порядке, т. е. компоненты x(nl), x(n2),..., х (пп) вектора [img: http://localhost:8080/file/041734-7.jpg] удовлетворяют следующему соотношению [img: http://localhost:8080/file/041734-8.jpg] (1) В этом случае статистика [img: http://localhost:8080/file/041734-9.jpg] наз. вариационным рядом (или вектором) порядковых статистик, а ее k-я компонента Xnk(k=1, 2,..., n) наз. k-й порядковой статистикой. В теории П. с. наиболее полно изучен случай, когда компоненты X1, Х 2,..., Х п случайного вектора Xсуть независимые одинаково распределенные случайные величины, что в дальнейшем и будет предполагаться. Если F(и) - функция распределения случайной величины Xi, i=l, 2,..., п, то функция распределения Fnk(u) k -й П. с. Х (nk) вычисляется по формуле [img: http://localhost:8080/file/041734-10.jpg] (2) где [img: http://localhost:8080/file/041734-11.jpg] - неполная бета-функция. Из (2) следует, что если функция распределения F(и).имеет плотность вероятности f(u), то плотность вероятности fnk (и) k- йП. с. Х (nk), k=1,2,..., п, тоже существует и выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/041734-12.jpg] (3) В предположении существования плотности f (и).была получена совместная плотность вероятности [img: http://localhost:8080/file/041734-13.jpg] П. с. Х (nr1), Х (nr2),..., Х (nrk), [img: http://localhost:8080/file/041734-14.jpg], к-рая выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/041734-15.jpg] (4) Формулы (2) - (4) позволяют, напр., найти распределение вероятностей т. н. экстремальных П. с. [img: http://localhost:8080/file/041734-16.jpg] а также распределение статистики Wn= Х (nn)-X(n1), к-рую наз. размахом. Напр., если функция распределения F(и).непрерывна, то функция распределения размаха Wn выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/041734-17.jpg] (5) Формулы (2) - (5) показывают, что, как и в общей теории выборочных методов, точные распределения П. с. невозможно использовать при получении статистич. выводов, если функция распределения F(и).неизвестна. Именно поэтому в теории П. с. получили широкое развитие асимптотич. методы исследования распределений П. с. при неограниченном увеличении размерности ге вектора наблюдений. В асимптотич. теории П. с. изучаются предельные распределения соответствующим образом нормированных последовательностей П. с. { Х (nk)}, когда [img: http://localhost:8080/file/041734-18.jpg]; при этом, вообще говоря, порядковый номер kможет меняться в зависимости от ге. Если с ростом ппорядковый номер kменяется таким образом, что существует [img: http://localhost:8080/file/041734-19.jpg], отличный от О и 1, то соответствующие П. с. Х (nk) рассматриваемой последовательности { Х (nk)}. наз. центральными или средними П. с. Если же [img: http://localhost:8080/file/041734-20.jpg] равен 0 или 1, то П. с. Х (nk) наз. крайними. В математич. статистике центральные П. с. используют при построении состоятельных последовательностей оценок для квантилей неизвестной функции распределения F(и).по реализации случайного вектора Xили, иначе говоря, при оценивании функции F-1(u). Напр., пусть х р- квантиль уровня Р(0<Р<1) функции распределения F(u), про к-рую известно, что ее плотность вероятности f(u).непрерывна и строго положительна в нек-рой окрестности точки х р. В этом случае последовательность центральных П. с. { Х (nk)} с порядковыми номерами k=[(n+1) Р+0,5], где [а] - целая часть действительного числа а, является состоятельной последовательностью оценок для квантили х р, [img: http://localhost:8080/file/041734-21.jpg]. Более того, эта последовательность П. с. { Х (nk)}асимптотически нормально распределена с параметрами [img: http://localhost:8080/file/041734-22.jpg] т. е. для любого действительного числа х [img: http://localhost:8080/file/041734-23.jpg] (6) где Ф (х) - функция распределения стандартного нормального закона. Пример 1. Пусть X(.)=(X(nl),..., Х (пп)).-вектор П. с., построенный по случайному вектору X =(X1,..., Х n), компоненты к-рого суть независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же вероятностному закону, плотность вероятности к-рого непрерывна и строго положительна в нек-рой окрестности медианы х 1/2. В этом случае при [img: http://localhost:8080/file/041734-24.jpg] последовательность выборочных медиан {mn}, определяемых для любого [img: http://localhost:8080/file/041734-25.jpg] по правилу [img: http://localhost:8080/file/041734-26.jpg] асимптотически нормально распределена с параметрами [img: http://localhost:8080/file/041734-27.jpg] В частности, если [img: http://localhost:8080/file/041734-28.jpg] то есть Xi подчиняется нормальному закону N(а,s2), то в этом случае последовательность {mn} асимптотически нормально распределена с параметрами [img: http://localhost:8080/file/041734-29.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041734-30.jpg]. Если последовательность статистик {mn} сравнить с последовательностью наилучших несмещенных оценок [img: http://localhost:8080/file/041734-31.jpg] математич. ожидания анормального закона, то следует отдать предпочтение последовательности [img: http://localhost:8080/file/041734-32.jpg], т. к. [img: http://localhost:8080/file/041734-33.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/041734-34.jpg] Пример 2. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041734-35.jpg] - вектор П. с., построенный по случайному вектору X=(X1,..., Х п), компоненты к-рого независимы и равномерно распределены на отрезке [а-h; a+h], причем параметры аи hнеизвестны. В этом случае последовательности статистик {Yn}и {Zn}, где [img: http://localhost:8080/file/041734-36.jpg] являются состоятельными последовательностями сверхэффективных несмещенных оценок для параметров аи hсоответственно, причем [img: http://localhost:8080/file/041734-37.jpg] (7) Можно показать, что последовательности статистик {Yn}и {Zn}определяют наилучшие оценки для аи h в смысле минимума квадратичного риска в классе линейных несмещенных оценок, выраженных в терминах П. с.