Постникова система

натуральная система, гомотопическая резольвента, П-разложение общего типа,- последовательность расслоений [img: http://localhost:8080/file/041735-108.jpg] слоями к-рых являются Эйленберга - Маклейна пространства К(p п, п), где p п - нёк-рая группа (абелева при п>1). Введена М. М. Постниковым [1]. Пространство Х п наз. n-м членом (или n-м этажом) П:с. {p п: Х n [img: http://localhost:8080/file/041735-109.jpg] Xn-1}. П. с. {р n: Х п [img: http://localhost:8080/file/041735-110.jpg] Х п-1} наз. сходящейся к пространству X, если ее обратный предел [img: http://localhost:8080/file/041735-111.jpg] слабо гомотопически эквивалентен пространству X. В этом случае пространство А' наз. пределом П. с. {р n: Х п [img: http://localhost:8080/file/041735-112.jpg] Xn-1}. Морфизмом П. с. {р п: Х п [img: http://localhost:8080/file/041735-113.jpg] Х п_1]. в П. с. {qn:Yn [img: http://localhost:8080/file/041735-114.jpg] Yn-1} наз. последовательность непрерывных отображений fn:Xn [img: http://localhost:8080/file/041735-115.jpg] Yn, для к-рых диаграмма гомотопически коммутативна. М орфизм {fn} индуцирует отображение [img: http://localhost:8080/file/041735-116.jpg], называемое его пределом. Из определения П. с. следует, что для каждого и [img: http://localhost:8080/file/041735-117.jpg] 1 отображение pn является (п-1)-эквнвалентностью (см. Гомотопический тип), в частности pi(Xn-1) [img: http://localhost:8080/file/041735-118.jpg] pi(Xn). при i< п,pn(Xn) [img: http://localhost:8080/file/041735-119.jpg] pn и pi(Xn)=0 при i> п. Пространства Xи Х п имеют один и тот же (n+1)-тип. В частности, если П. с. конечна, т. е. для нек-рого числа Nпри всех n >N группа pn тривиальна, то пространства X и XN гомотопически эквивалентны. В общем случае при i [img: http://localhost:8080/file/041735-120.jpg] п имеют место изоморфизмы Н i(Х п) [img: http://localhost:8080/file/041735-121.jpg] Н i (Х) иpn(Xn) [img: http://localhost:8080/file/041735-122.jpg] pn(X), т. [img: http://localhost:8080/file/041735-125.jpg] р п: X п [img: http://localhost:8080/file/041735-126.jpg] Xn-1, т. е. образ при трансгрессии [img: http://localhost:8080/file/041735-127.jpg] фундаментального класса [img: http://localhost:8080/file/041735-128.jpg];p), наз. n-м k-инвариантом (или n-м постниковским фактором) П. с. или ее предела X. Для любого п [img: http://localhost:8080/file/041735-129.jpg] 1 n-й член П. с., а потому и (n+1)-тип пространства Xполностью определяются группами p1,...,pn и k-инвариантами k1,..., kn-1. Часто П. с. наз. двойная последовательность [img: http://localhost:8080/file/041735-130.jpg] Пространство Xтогда и только тогда является пределом П. с. { р п: Х п [img: http://localhost:8080/file/041735-131.jpg] Xn-1}, когда существуют такие (п -1)-эквивалентности rn:X [img: http://localhost:8080/file/041735-132.jpg] Х n, что rn-1~rnorn для любого n [img: http://localhost:8080/file/041735-133.jpg] 1. Аналогично характеризуются пределы морфизмов П. с. Существует вариант понятия П. с., иногда оказывающийся более полезным. В этом варианте пространства X п предполагаются клеточными разбиениями, обладающими тем свойством, что [img: http://localhost:8080/file/041735-134.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041735-135.jpg], а отображения [img: http://localhost:8080/file/041735-136.jpg] - такими клеточными отображениями (уже не являющимися расслоениями), что, во-первых, [img: http://localhost:8080/file/041735-137.jpg] и, во-вторых, гомотопич. слой отображения р п (т. е. слой этого отображения, превращенного в расслоение) является пространством К(pn, п). Такие П. с. наз. клеточными. Пределом клеточной П. с. является клеточное разбиение X, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/041735-138.jpg] при любом п [img: http://localhost:8080/file/041735-139.jpg] 1. Произвольная П. с. гомотопически эквивалентна клеточной П. с. Основная теорема теории П. с. утверждает (см. [1], [6]), что каждое пространство Xявляется пределом нек-рой однозначно (с точностью до изоморфизма) определенной П. с. {р п: Х п [img: http://localhost:8080/file/041735-140.jpg] Xn-1}. Эта П. с. наз. системой Постникова пространства X. Имеет место также вариант основной теоремы для отображений: любое отображение f: X [img: http://localhost:8080/file/041735-141.jpg] Yявляется пределом нек-рого морфизма {fn: Х n [img: http://localhost:8080/file/041735-142.jpg] Yn} П. с. (р п: Х п [img: http://localhost:8080/file/041735-143.jpg] Xn-1} пространства Xв П. с. {qn: Yn [img: http://localhost:8080/file/041735-144.jpg] Yn-1} пространства Y. Этот морфизм наз. системой Постникова отображения f (др. названия: гомотопическая резольвента отображения, П-система общего типа отображения, система Мура- Постникова отображения). Для постоянного отображения с: X [img: http://localhost:8080/file/041735-145.jpg] pt линейно связного пространства Xего П. с. совпадает с П. с. пространства X. В приложениях большое распространение получили т. н. стандартные системы Постникова (к-рые зачастую наз. просто системами Постникова), представляющие собой П. с., составленные из главных расслоений р п: Х п [img: http://localhost:8080/file/041735-146.jpg] Х п-1, индуцирующихся из стандартных расслоений Серра К(pn, n) [img: http://localhost:8080/file/041735-147.jpg] ЕК(pn, п+ 1) [img: http://localhost:8080/file/041735-148.jpg] К(pn, п+1) постниковскими факторами [img: http://localhost:8080/file/041735-149.jpg], интерпретируемыми в силу представимости групп когомологий как отображения kn:Xn-1 [img: http://localhost:8080/file/041735-150.jpg] К(pn,п+1). Стандартными П. с. обладают все пространства, гомотопически простые во всех размерностях (в терминологии [2] - абелевы пространства), и только они (см. [3], [4]). Стандартные П. с. применяются для решения задач распространения и задач понятия, к которым сводятся многие задачи алгебраической топологии. Объединенная постановка этих задач заключается в следующем. [img: http://localhost:8080/file/041735-151.jpg] Пусть имеется (гомотопически) коммутативный квадрат пространств и отображений, в котором отображение i является замкнутым корасслоением с кослоем X/А, а р - расслоением со слоем F. Спрашивается, существует ли такое отображение [img: http://localhost:8080/file/041735-152.jpg], чтобы оба получающихся треугольника были (гомотопически) коммутативными. Далее, если такое отображение существует, то требуется вычислить множество [img: http://localhost:8080/file/041735-153.jpg] гомотопич. классов отображений X [img: http://localhost:8080/file/041735-154.jpg] Y " под А" (то есть rel A) и "над B". [img: http://localhost:8080/file/041735-155.jpg] Пусть для расслоения р: Y [img: http://localhost:8080/file/041735-156.jpg] В существует стандартная П. с. {рД: Yn [img: http://localhost:8080/file/041735-157.jpg] Yn-1 Y0=В} (для этого достаточно, напр., потребовать, чтобы пространства Y и Вбыли односвязными). Задачу относительного поднятия решают шаг за шагом. Рассмотрим "элементарную" задачу относительного поднятия отображения fn-1:X [img: http://localhost:8080/file/041735-158.jpg] Yn_l с (п-1)-го мена П. с, на п-й член П. с. (рис. 3). Отображения fn-1 и gn-1 определяют отображение X/A [img: http://localhost:8080/file/041735-159.jpg] К(pn,(F), п+1), т. е. класс когомологий [img: http://localhost:8080/file/041735-160.jpg], называемый препятствием. Отображение fn-1 тогда и только тогда можно поднять в Yn когда с n+1=0. Два поднятия [img: http://localhost:8080/file/041735-161.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041735-162.jpg] определяют элемент [img: http://localhost:8080/file/041735-163.jpg], называемый различающей, к-рый тогда и только тогда равен нулю, когда поднятия [img: http://localhost:8080/file/041735-164.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041735-165.jpg] гомотопны. Таким образом, задача относительного поднятия будет решена, если последовательно возникающие препятствия с n+1 равны нулю (напр., если Н п+1(Х, А;pn(F))=0. Поднятие будет единственно, если последовательно возникающие различающие dn равны нулю (напр., если Н n(Х, A;pn(F))=0). В случае, когда корасслоение iявляется вложением клеточных разбиении, препятствие с п+1 и различающая dn совпадают с обычными "поклеточными" препятствием и различающей. Для односвязных пространств X, группы гомологии к-рых конечно порождены, П. с. эффективно вычислима [5] и, следовательно, эффективно вычислим гомотопич. тип пространства X. Однако на практике для большинства пространств из-за резко возрастающей сложности вычислений удается вычислить только начальные отрезки П. с. Для вычислений используется метод когомологических операций. Двойственной к П. с. является система Картана - Серра [img: http://localhost:8080/file/041735-166.jpg] пространства X, состоящая из расслоений, слоями к-рых являются пространства Эйленберга - Маклейна К(pn (X), п -1). Пространство [img: http://localhost:8080/file/041735-167.jpg] наз. (п+1)-м убивающим пространством для X. Члены [img: http://localhost:8080/file/041735-168.jpg] системы Картана - Серра являются гомотопич. слоями (п -1)-аквивалентностей [img: http://localhost:8080/file/041735-169.jpg] для П. с. пространства X, а члены Х п П. с.- пространствами петель над слоями расслоений [img: http://localhost:8080/file/041735-170.jpg] Расщепленной П. с. наз. последовательность главных расслоений [img: http://localhost:8080/file/041735-171.jpg] слоями к-рых являются пространства Эйленберга - Маклейна К(pn, sn}, где [img: http://localhost:8080/file/041735-172.jpg]. Расщепленные П. с. являются основным технич. средством изучения т. н. нильпотентных пространств и, в частности, их локализаций (см. [2], [6], [7]). Имеются и другие варианты П. с. (см. [6]).