Почтикольцо

- одно из обобщений понятия ассоциативного кольца. П.- это кольцоид над группой, т. е. универсальная алгебра, в к-рой имеется ассоциативная операция умножения и операция сложения; относительно сложения П. должно быть группой (не обязательно коммутативной), причем должен также выполняться правый закон дистрибутивности: [img: http://localhost:8080/file/041739-15.jpg] П. являются также частным случаем мультиоператорных групп. Примерами П. являются множества MS (Г).всех отображений группы Г в себя, перестановочных с действием фиксированной полугруппы эндоморфизмов Sгруппы Г. Групповые операции в М S (Г) вводятся поточечно, умножением в М S (Т).является композиция отображений. Почтикольцо MS(T) является аналогом кольца матриц. Обычным образом вводятся понятия подпочтикольца, идеала, правого модуля над П. Пусть N0 (соответственно Nc) - многообразие П., задаваемое тождеством Оx=0 (соответственно Ох=х). Любое почтикольцо Аразлагается в сумму подпочтиколец А=А 0+А с, где [img: http://localhost:8080/file/041739-16.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/041739-17.jpg] =0. Циклический правый А-модуль Мназ. примитивным типа 0, если Мпрост, примитивным типа 1, если либо хА=0, либо хА=М для любого [img: http://localhost:8080/file/041739-18.jpg], и примитивным типа 2, если Мявляется простым A0 -модулем. Почтикольцо Аназ. примитивным типа v (v=0, 1, 2), если существует точный простой А- модуль Г типа v. При этом возникает плотное вложение почтлкольца А в М S (Г).для нек-рой полугруппы эндоморфизмов Sгруппы Г. Для 2-примитивных почтиколец Ас единицей и условием минимальности для правых идеалов в А 0 имеет место равенство А=М S (Г). (аналог теоремы Веддерберна - Артина). Для каждого v=0, 1, 2 вводится понятие радикала Джекобсона типа v, обозначаемого Jv(A), он определяется как пересечение аннуляторов v-примитивных A-модулей. Радикал J1/2 (А).определяется как пересечение максимальных правых модулярных идеалов. Все четыре радикала различны, причем [img: http://localhost:8080/file/041739-19.jpg] Оказывается, что эти радикалы обладают многими свойствами радикала Джекобсона ассоциативных колец (см. [4]). Для П. справедлив аналог теоремы Оре о почтикольцах частных [4]. Дистрибутивно порожденным почтикольцом наз. П., аддитивная группа к-рого порождается такими элементами х, что (y + z)x=yx + zx для всех у,z из П. Все дистрибутивно порожденные П. порождают многообразие N0. Для конечных дистрибутивно порожденных П. понятия 1- и 2-примитивности совпадают; 1-примитивные дистрибутивно порожденные П. имеют вид M0 (Г) для нек-рой группы Г. В дистрибутивно порожденном П., с тождеством (ху - ух)n(x,y)= ху - ух, п(х, у)> 1, умножение коммутативно (см. [3], [4]). Каждое П. из N0, не содержащее нильпотентных элементов, является подпрямым произведением П. без делителей нуля [4]. Почтиалгебра Аразлагается в прямую сумму простых П. тогда и только тогда, когда а) она удовлетворяет условию минимальности для главных идеалов, б) в A нет идеалов с нулевым умножением, в) аннулягор любого минимального идеала максимален [1]. Для П. получены результаты, аналогичные результатам о строении регулярных колец [2], о почтикольцах частных [5]. П. имеют приложения к изучению групп подстановок, блок-схем, проективной геометрии [4].