Почти комплексная структура

- поле I линейных преобразований касательных пространств на многообразии М, удовлетворяющее условию: I2 = -id, т. е. поле комплексных структур в касательных пространствах [img: http://localhost:8080/file/041738-35.jpg]. П. к. П. к. с. I наз. интегрируемой, если она индуцируется комплексной структурой на М, т. е. если существует атлас допустимых карт многообразия М, в к-рых поле I имеет постоянные координаты Ijk,. Необходимое и достаточное условие интегрируемости П. к. с. состоит в инволютивности полрасслоения V+, т. е. замкнутости пространства ого сечений относительно коммутирования (комплексных) векторных полей. Условие инволютивности подрасслоения V+ равносильно обращению в нуль ассоциированной с I векторнозначной 2-формы N(I, I), задаваемой формулой N(I, I)(Х, Y) =[IX, IY]- I[X, IY] - I[I, XY] -I[X, Y], где X, Y- векторные поля. Эта форма наз. тензором кручения, или тензором Нейенхейса, П. к. с. Тензор Нейенхеиса N(I, I).можно рассматривать как дифференцирование степени 1 алгебры дифференциальных форм на М, имеющее вид N(I, I) =[I,[I, d]] + d, где d- внешний дифференциал, а I рассматривается как дифференцирование степени 0. С точки зрения теории G-структур П. к. с. представляет из себя [img: http://localhost:8080/file/041738-41.jpg] - структуру, где m=1/2 dim M, а тензор кручения N(I, I) -тензор, определяемый первой структурной функцией этой структуры, [img: http://localhost:8080/file/041738-42.jpg] структура является структурой эллиитич. типа, и поэтому алгебра Ли инфинитезимальных автоморфизмов П. к. с. удовлетворяет эллиптич. системе дифференциальных уравнений 2-го порядка [1]. В частности, алгебра Ли инфинитезимальных автоморфизмов П. к. с. на компактном многообразии конечномерна, а группа G всех автоморфизмов компактного многообразия с П. к. с. является группой Ли. Для некомпактных многообразий это, вообще говоря, не так. Если группа автоморфизмов Gтранзитивна на многообразии М, то П. к. с. I однозначно определяется своим значением I р в фиксированной точке [img: http://localhost:8080/file/041738-43.jpg], к-рое представляет из себя инвариантную относительно представления изотропии комплексную структуру в касательном пространстве Т р М (с. Наличие на многообразии П. к. с. накладывает нек-рые ограничения на его топологию - оно должно быть четномерным, ориентируемым, а в компактном случае все его нечетномерные классы Штифеля - Уитни должны быть равны нулю. Среди сфер П. к. с. допускают только сферы размерностей 2 и 6.