Почти периодическая функция

функция, к-рая может быть представлена обобщенным рядом Фурье. Существуют различные способы определения классов П. п. ф., основанные на понятиях замыкания, почти периода, сдвига. Каждый из классов П. п. ф. получается в результате замыкания в том или ином смысле одной и той же совокупности конечных тригонометрич. сумм. Пусть DG[f(x),j(x)] - расстояние между функциями f(х).и j(х).в метрич. пространстве G. Далее в качестве G рассматривается одно из пространств U, [img: http://localhost:8080/file/041738-50.jpg], Wp, В p, где U - совокупность непрерывных ограниченных на действительной оси функций с метрикой [img: http://localhost:8080/file/041738-51.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041738-52.jpg], Wp, В р - совокупности функций, измеримых и суммируемых со степенью [img: http://localhost:8080/file/041738-53.jpg], в каждом конечном интервале действительной оси с метриками: [img: http://localhost:8080/file/041738-54.jpg] Пусть Т- множество [img: http://localhost:8080/file/041738-55.jpg] тригонометрич. полиномов вида где lk - любые действительные числа, а k - комплексные коэффициенты. Через Н G (Т).обозначается замыкание в пространстве G множества Т. Классы Н U (Т)= U- п. п., [img: http://localhost:8080/file/041738-56.jpg] -п. п., Hwp(T)=Wp- п. U- п. S р2 -п. Для каждой [img: http://localhost:8080/file/041738-69.jpg] -п. п. существует среднее значение [img: http://localhost:8080/file/041738-70.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/041738-71.jpg], где l - действительное число, может отличаться от нуля не более чем на счетном множестве значений l;в результате нумерации в произвольном порядке получается последовательность {lk}, k=l, 2,..., показателей Фурье функции f(x). Числа наз. коэффициентами Фурье [img: http://localhost:8080/file/041738-72.jpg] функции f(x). П. п. ф. f(x) любого определенного выше класса соответствует ряд Фурье вида [img: http://localhost:8080/file/041738-73.jpg] Для [img: http://localhost:8080/file/041738-74.jpg] -п. п. имеет место равенство Парсеваля [img: http://localhost:8080/file/041738-75.jpg] В классе В р- п. п. обобщается теорема Рисса - Фишера: пусть {lk}, k=l, 2,...,- произвольные действительные числа, {Ak}, k=1, 2,...,- комплексные числа, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/041738-76.jpg], тогда существует [img: http://localhost:8080/file/041738-77.jpg] -п. п., для к-рой тригонометрич. ряд [img: http://localhost:8080/file/041738-78.jpg] является ее рядом Фурье. Теорема единственности понимается в следующем смысле: если две функции [img: http://localhost:8080/file/041738-79.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041738-80.jpg] имеют один и тот же ряд Фурье, то выполняется равенство [img: http://localhost:8080/file/041738-81.jpg] В частности, для равномерных П. п. ф. теорема единственности означает, что f(x) = j(x) (для П. п. ф. Степанова - почти всюду). Теорема единственности, понимаемая в том же смысле, что и для рядов Фурье - Лебега 2p-периодических функций, но имеет места для П. п. ф. Вейля - Безиковича. Классы равномерных П. п. ф. и П. п. ф. Степанова являются соответственно нетривиальными расширениями класса непрерывных на всей числовой оси и суммируемых на [0,2p] 2p-периодичсских функций. Для этих классов П. п. ф. сохраняется теорема единственности. Другие, менее формальные определения П. п. ф. рассматриваемых классов опираются на понятие почти периода и на обобщения этого понятия. Следствием определения классов П. п. ф. через понятие замыкания является теорема аппроксимации: для каждой П. п. ф. f(х).из U(или Sp, Wp).и каждого e>0 можно указать конечный тригонометрич. полином Р(х).из множества Т, удовлетворяющий неравенству [img: http://localhost:8080/file/041738-82.jpg] Теорема аппроксимации может служить отправным пунктом определения различных классов П. п. ф. При этом аппроксимирующие полиномы Р(х).могут содержать "посторонние", т. е; отличные от показателей Фурье функции f(x), показатели. Однако для нек-рых приложений теоремы аппроксимации важен тот факт, что можно совершенно избежать введения в Р(х).показателей, отличных от показателей Фурье функции f(x). В связи с представимостью П. п. ф. обобщенными рядами Фурье возникает вопрос о признаках сходимости для этих рядов и приобретают значение разнообразные методы суммирования обобщенных рядов Фурье (метод Бохнера - Фейера и др.). Так, получены признак абсолютной сходимости обобщенных рядов Фурье с линейно независимыми показателями Фурье, признак равномерной сходимости рядов Фурье, когда [img: http://localhost:8080/file/041738-83.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041738-84.jpg], и аналогичный признак в случае, когда [img: http://localhost:8080/file/041738-85.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041738-86.jpg] Значение признаков равномерной сходимости в теории П. п. ф. подчеркивается следующей теоремой: если тригонометрич. ряд [img: http://localhost:8080/file/041738-87.jpg] сходится равномерно на всей действительной оси, то он является рядом Фурье своей суммы [img: http://localhost:8080/file/041738-88.jpg] -п. п. Следствие: существуют равномерные П. п. ф. с произвольным счетным множеством показателей Фурье. В частности, показатели Фурье равномерной П. п. ф. могут иметь предельные точки на конечном расстоянии или даже располагаться всюду плотно. Кроме понятия замыкания или почти периода, для определения П. п. ф. можно использовать понятие сдвига. Так, функция f(х).будет равномерной П. п. ф. тогда и только тогда, когда из каждой бесконечной последовательности функций f(x+h1), f(x+h2),..., где сдвиги h1, h2,...- произвольные действительные числа, можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность. Это определение служит отправной точкой при рассмотрении П. п. ф. на группах. Основные факты теории П. п. ф. остаются справедливыми и в том случае, если рассматривать понятие обобщенного сдвига. Возможны и полезны другие обобщения: П. п. ф. со значениями в евклидовом n-мерном пространстве, в банаховом или метрич. пространстве, аналитические и гармонические П. п. ф.