Предельного поглощения принцип

способ однозначного выделения решений уравнений, аналогичных Гелъмголъца уравнению, с помощью введения бесконечно малого поглощения. Математич. смысл П. п. п. состоит в следующем. Пусть W - неограниченная область в [img: http://localhost:8080/file/041740-135.jpg], Р - самосопряженный оператор в L2(W), задаваемый дифференциальным выражением [img: http://localhost:8080/file/041740-136.jpg], и однородными граничными условиями на дW, l - точка непрерывного спектра оператора Р. Тогда при [img: http://localhost:8080/file/041740-137.jpg] уравнение [img: http://localhost:8080/file/041740-138.jpg] однозначно разрешимо в L2(W) и в нек-рых случаях можно выделить решения u=u + уравнения [img: http://localhost:8080/file/041740-139.jpg] с помощью предельного перехода [img: http://localhost:8080/file/041740-140.jpg] При этом предполагается, что f имеет компактный носитель, а сходимость [img: http://localhost:8080/file/041740-141.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041740-142.jpg] понимается в смысле L2(W'), где W' - произвольная ограниченная область в W. Так как l - точка спектра оператора Р, то указанный предел в L2(W), вообще говоря, не существует. Впервые П. п. п. был сформулирован для уравнения Гельмгольца в [img: http://localhost:8080/file/041740-143.jpg] (см. [1]): [img: http://localhost:8080/file/041740-144.jpg] Выделяемые с помощью этого принципа решения и + соответствуют расходящимся или сходящимся волнам и удовлетворяют излучения условию на бесконечности. Эти результаты были перенесены (см. [2], [3]) на эллиптические краевые задачи во внешности ограниченной области в [img: http://localhost:8080/file/041740-145.jpg] для оператора [img: http://localhost:8080/file/041740-146.jpg] (*) где коэффициенты а ki(x) достаточно быстро стремятся к константам при [img: http://localhost:8080/file/041740-147.jpg]. Для справедливости П. п. п. в этом случае необходимо требовать, чтобы l не было собственным значением оператора Рили f была ортогональна собственным функциям. Теорема Като (см. [3]) дает достаточные условия отсутствия собственных значений на непрерывном спектре оператора Р=D+q (х). Такая теорема получена для оператора (*) (см. [3]). П. п. п. обоснован для нек-рых областей с некомпактной границей (см. [3], [4]). П. п. п. и соответствующие условия излучения найдены для уравнений любого порядка и систем уравнений (см. [5], [6]); они состоят в следующем. [img: http://localhost:8080/file/041740-153.jpg] Эти условия выделяют единственное решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/041740-154.jpg] для любой функции f с компактным носителем. П. п. п. для этого уравнения заключается в том, что это же решение получается в пределе при [img: http://localhost:8080/file/041740-155.jpg] из однозначного определяемого решения [img: http://localhost:8080/file/041740-156.jpg] эллиптич. уравнения [img: http://localhost:8080/file/041740-157.jpg] где Q(s) имеет действительные коэффициенты и Q(s) [img: http://localhost:8080/file/041740-158.jpg] 0 на Sj. В зависимости от набора [img: http://localhost:8080/file/041740-159.jpg], в пределе получаются решения с условиями излучения, соответствующими той или иной ориентации поверхностей Sj. Этот принцип обоснован для уравнений и систем любого порядка с переменными коэффициентами во внешности ограниченной области (см. [5], [6]), а также в случае невыпуклых Sj;для этих уравнений имеется и теорема единственности типа Като.