Представление ассоциативной алгебры

размерности n - гомоморфизм алгебры Анад полем Fв алгебру матриц М n(F), т. е. сопоставление каждому [img: http://localhost:8080/file/041742-91.jpg] квадратной матрицы Т(а).порядка п, при к-ром [img: http://localhost:8080/file/041742-92.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041742-93.jpg]. Обычно требуется также, чтобы единице алгебры Асоответствовала единичная матрица; иногда требуется, чтобы и сама алгебра Абыла конечномерной. Всякое неразложимое представление полупростой алгебры эквивалентно прямому слагаемому регулярного представления. Таким образом, всякая полупростая алгебра является алгеброй конечного (представленческого) типа, т. е. имеет конечное число неизоморфных неразложимых представлений. Неполупростые алгебры могут быть как конечного, так и бесконечного представленческого типа (такова, напр., А={1,r,s|r2=s2=rs=sr=0}). Алгебры бесконечного типа принято делить еще на алгебры дикого типа, задача классификации к-рых содержит в себе классич. нерешенную задачу о паре матриц (т. Основными вопросами, изучаемыми в теории П. а. а., являются получение необходимых и достаточных условий, при к-рых алгебра принадлежит одному из перечисленных типов, и классификация неразложимых представлений в конечном и ручном случаях. В общем случае эти задачи не решены. Описание алгебр конечного и ручного типа и их представлений получено для алгебр, у к-рых квадрат радикала равен нулю (см. [2], [4], [8]-[10]). Решены проблемы Брауэра - Трэлла, т. С П. а. а. тесно связаны представления нек-рых других объектов: колчанов, частично упорядоченных множеств, решеток, боксов.