Представление компактной группы

гомоморфизм компактной группы в группу непрорывных линейных автоморфизмов (комплексного) банахова пространства, непрерывный в сильной операторной топологии. Пусть G- компактная группа, V- банахово пространство и [img: http://localhost:8080/file/041742-97.jpg] - представление. Если V=H - гильбертово пространство, а j(g) - унитарный оператор для любого [img: http://localhost:8080/file/041742-98.jpg], то j наз. унитарным представлением. В Нвсегда существует эквивалентная норма, относительно к-рой данное представление j унитарно. Всякое неприводимое унитарное представление группы Gконечномерно. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041742-99.jpg] - семейство всевозможных попарно неэквивалентных унитарных неприводимых представлений группы G. Всякое унитарное представление j группы Gявляется ортогональной прямой суммой таких однозначно определенных представлений [img: http://localhost:8080/file/041742-100.jpg], что каждое ja является ортогональной прямой суммой нек-рого семейства представлений, эквивалентных ra. Если Gконечна, то семейство {ra } тоже конечно и содержит столько элементов, сколько имеется в Gразличных классов сопряженных элементов (при этом [img: http://localhost:8080/file/041742-101.jpg]. Задача исследования этих представлений (вычисления их характеров, нахождения явной реализации и т. п.) составляет предмет обширной теории (см. Конечной группы представление). Если G - связная односвязная компактная группа Ли, а [img: http://localhost:8080/file/041742-102.jpg] - ее комплексификация (см. Комплексификация группы Ли), то описание семейства [img: http://localhost:8080/file/041742-103.jpg] для G сводится (посредством сужения представлений на G) к описанию семейства всех неприводимых попарно неэквивалентных конечномерных рациональных представлений редуктивной алгебраич. группы [img: http://localhost:8080/file/041742-104.jpg]. Последнее же семейство, в свою очередь, допускает полное описание с помощью рассмотрения старших весов (см. Представление со старшим вектором). В современной теории чисел и алгебраич. геометрии рассматриваются l-адические представления компактных вполне несвязных групп (см. [5], [6]).