Представление со старшим вектором

линейное представление r конечномерной полупростой расщепляемой алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041743-15.jpg] над полем kхарактеристики нуль с расщепляющей Картана подалгеброй t, удовлетворяющее следующим условиям. 1) В пространстве Vпредставления r существует циклический вектор v (т. е. V - наименьшее [img: http://localhost:8080/file/041743-16.jpg] -инвариантное подпространство, содержащее v). 2) p(h)(v)=h(h)vдля всех [img: http://localhost:8080/file/041743-17.jpg], где l- некоторая фиксированная линейная форма на t со значениями в k. 3) Если a1,...,ar- система простых корней, определенная век-рым лексикографич. упорядочением множества D всех корней алгебры [img: http://localhost:8080/file/041743-18.jpg] относительно t (см. Корневая система), а [img: http://localhost:8080/file/041743-19.jpg] - соответствующие корню а; векторы из базиса Шевалле алгебры [img: http://localhost:8080/file/041743-20.jpg] для всех i=1,..., r. Таким образом, l является весом относительно сужения r на t (см. Вес представления); он наз. старшим весом. Пространство Vназ. циклическим [img: http://localhost:8080/file/041743-21.jpg] -модулем со старшим весом l и образующей v, a v наз. старшим вектором. Для всякой линейной формы l на t существует единственное с точностью до эквивалентности неприводимое представление rl алгебры [img: http://localhost:8080/file/041743-22.jpg] со старшим весом l. [img: http://localhost:8080/file/041743-23.jpg] -модуль V(l), определяемый rl, является прямой суммой весовых подпространств относительно сужения rl на t. Их веса имеют вид [img: http://localhost:8080/file/041743-24.jpg] где ni- целые неотрицательные числа. Весовое подпространство Vm(l) веса m конечномерно, натягивается над kна векторы вида [img: http://localhost:8080/file/041743-25.jpg] и для любого [img: http://localhost:8080/file/041743-26.jpg] ограничение rl(h) на Vm (К).является скалярным оператором умножения на m(h). Пространство Vl(l) одномерно; вес lявляется единственным старшим весом представления rl и может быть охарактеризован как единственный вес t-модуля V(l) такой, что любой другой вес имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041743-27.jpg] где ni - целые неотрицательные числа. Представление rl конечномерно тогда и только тогда, когда l - доминантная линейная форма на t, то есть [img: http://localhost:8080/file/041743-28.jpg] - целое неотрицательное число для всех i=1,..., r. Всякое неприводимое конечномерное линейное представление алгебры [img: http://localhost:8080/file/041743-29.jpg] имеет вид rl, для нек-рой доминантной линейной формы Кна t (так что все такие представления классифицируются с точностью до эквивалентности доминантными линейными формами на t). Множество всех весов конечномерного представления rl, относительно t инвариантно относительно Вейля группы алгебры [img: http://localhost:8080/file/041743-30.jpg] (рассматриваемой как группа линейных преобразований пространства t), и если веса m и g лежат в одной орбите группы Вейля, то размерности пространств Vm(l). и Vg(l) совпадают. Для всякого веса m. и всякого корня [img: http://localhost:8080/file/041743-31.jpg] число m (ha) - целое; если при этом m+a- тоже вес, то [img: http://localhost:8080/file/041743-32.jpg] (здесь ha - элемент из t, соответствующий a, а е a- корневой вектор корня a).