Представляющая функция

непрерывная функция f на топологич. пространстве X, снабженном непрерывным действием нек-рой группы G, орбита к-рой [img: http://localhost:8080/file/041743-108.jpg] в пространстве всех непрерывных функций на Xпорождает конечномерное подпространство. П. ф. иногда называют также сферическими, или почти инвариантными, функциям и. П. ф. со значениями в поле [img: http://localhost:8080/file/041743-109.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041743-110.jpg] образуют G-инвариантную k-подалгебру F(X, k)G в алгебре всех k-значных непрерывных функций F(X, k).на X. В случае, когда X=G- топологич. группа, действующая на себе при помощи левых сдвигов, F(X, k)a=F(G, k)G совпадает с подпространством в F(G, k), порожденным матричными элементами конечномерных непрерывных линейных представлений группы G. Если при этом Gкомпактна, то можно ограничиться матричными элементами неприводимых представлений. Напр., если G= Т - группа вращений плоскости, то П. ф. на G - это тригонометрич. полиномы. Другим примером являются классические сферич. функции на сфере, к-рые суть П. ф. для стандартного действия группы вращении сферы. Если G - компактная топологич. группа, непрерывно действующая на пространство X, являющемся объединением счетного числа компактов, то F(X, k)G плотно в F(X, k). относительно компактно открытой топологии (см. Петера - Вейля теорема). Аналогичные утверждения справедливы для П. ф. различных степеней гладкости на дифференцируемом многообразии с гладким действием компактной группы Ли. С другой стороны, если G не допускает нетривиальных непрерывных гомоморфизмов в компактную группу (например, G - связная полупростая группа Ли без компактных простых факторов), то всякая П. ф. на компактном пространстве Xс непрерывным действием группы G является G-инвариантной [4]. Если гладкое действие компактной группы Ли G на дифференцируемом многообразии Xимеет лишь конечное число типов орбит, то алгебра [img: http://localhost:8080/file/041743-111.jpg] всех П. ф. класса [img: http://localhost:8080/file/041743-112.jpg] конечно порождена над подалгеброй всех G-инвариантных функций класса [img: http://localhost:8080/file/041743-113.jpg] (см. [5]). В частности, для однородного пространства Xалгебра [img: http://localhost:8080/file/041743-114.jpg] конечно порождена и отождествляется с алгеброй регулярных функций на аффинном однородном алгебраич. многообразии над [img: http://localhost:8080/file/041743-115.jpg], множество вещественных точек к-рого совпадает с X. Важной для приложений является задача о разложении G-модуля [img: http://localhost:8080/file/041743-116.jpg] в прямую сумму простых G-модулей. В случае, когда X - симметрическое однородное пространство компактной группы G, она была решена Э. Картаном [l]. Обобщением П. ф. являются представляющие сечения нек-рого векторного G-расслоения Енад G-пространством Х, т. е. непрерывные сечения, G-орбиты к-рых порождают конечномерные подпространства и пространстве Г(E) всех непрерывных сечений, напр, представляющие тензорные поля на гладких многообразиях с гладким действием группы Ли G; они образуют G-подмодуль [img: http://localhost:8080/file/041743-117.jpg] (см. [5]). Если группа G компактна, то подмодуль Г(E)G плотен в Г(Е). В случае, когда X - симметрическое однородное пространство группы G, изучено (см. [3]) разложение G-модуля Г(Е)G на простые компоненты. Если же X - компактное однородное пространство полупростой группы Ли G без компактных факторов со связной стационарной подгруппой, то [img: http://localhost:8080/file/041743-118.jpg] (см. [2]).