Приближение функций комплексного переменного

- раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближенного представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством аналитич. ций специальных классов. Основными в теории П. ф. к. п. являются задачи о возможности приближения, скорости приближения и об аппроксимационных свойствах различных способов представления функций (интерполяционных последовательностей и рядов, рядов по ортогональным многочленам и многочленам Фабера, разложений в непрерывные дроби и аппроксимаций Паде, последовательностей полиномов из экспонент и рядов Дирихле и т. п.). Теория П. ф. к. п. тесно связана с другими разделами комплексного анализа и математики в целом; в теории приближений важную роль играют методы и результаты конформных отображений, интегральные представления, теория потенциала, теория функциональных алгебр и др. Центральная проблематика теории П. ф. к. п. относится к приближению функций многочленами и рациональными функциями, в частности многочленами и рациональными функциями наилучшего приближения (существование, характеристич. свойства, единственность), а также экстремальные задачи и различные оценки для многочленов и рациональных функций (оценки роста, неравенства для производных, многочлены и рациональные функции, наименее уклоняющиеся от нуля, и т. Приближение функций комплексного переменного многочленами и рациональными функциями. В этом разделе теории П. ф. к. п. можно выделить несколько направлений. 1) Изучение возможности приближения функции f(z) комплексного переменного z с любой наперед заданной точностью посредством многочленов и рациональных функций от z в зависимости от свойств того множества Е, на к-ром задана f и на к-ром происходит приближение, от свойств метрики уклонения r и, наконец, от свойств самой функции f. 2) Изучение свойств многочленов и рациональных функции наилучшего приближения, т. е. таких многочленов Р п(z; f, E,r) и рациональных функций Rn(z; f, Е,r).степени не выше и, n=0, 1,..., для к-рых [img: http://localhost:8080/file/041746-88.jpg] где нижние грани берутся соответственно по всем многочленам Р(z) степени deg P [img: http://localhost:8080/file/041746-89.jpg] пи рациональным функциям R(z) степени deg R [img: http://localhost:8080/file/041746-90.jpg] п(либо по части множества таких многочленов или рациональных функций, выделяемой какими-либо дополнительными условиями). По существу здесь идет речь о свойствах решений нек-рого класса экстремальных задач. Сюда можно отнести также изучение и других экстремальных задач на множествах многочленов, рациональных функций и на нек-рых классах аналитич. ций, а также исследования аналитич. свойств многочленов и рациональных функций (в частности, получение неравенств между различными нормами этих функций и их производных). 3) Изучение зависимости скорости убывания к нулю величин En(f, Е,r) и Rn(f, E,r) при [img: http://localhost:8080/file/041746-91.jpg] от свойств f, Еи r (так наз. прямые теоремы теории приближения) и зависимости свойств функции f от скорости убывания En(f, Е,r) или Rn(f, Е,r) к нулю при [img: http://localhost:8080/file/041746-92.jpg] и свойств E и r (обратные теоремы). С этим направлением неразрывно связано изучение возможностей известных методов П. ф. к. и. (таких, как ряды по Фабера многочленам, различные интерполяционные процессы и т. п.) и отыскание новых эффективных методов приближения. 4) Приближение функций нескольких комплексных переменных. Здесь решаются в основном те же задачи, что и в случае одного переменного, однако результаты и методы их получения, как правило, резко отличаются от случая одного переменного. Ниже отмечены нек-рые основные результаты. 1) Задачу о возможности сколь угодно хорошего равномерного приближения многочленами решают Рунге теорема (в случае аналитичности f на Е), Лаврентьева теорема (непрерывность f на Е), Келдыша теорема(Е - замкнутая область, f непрерывна на Еи аналитична внутри Е), Мергеляна теорема (в общем случае: Е- компакт, f непрерывна на Еи анаяитична во внутренних точках Е). 2) Задачу о возможности приближения голоморфной функции на замкнутом подмножестве Ерасширенной комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/041746-93.jpg] решает теорема Рунге. При изучении возможности приближения функций f из различных пространств в метрике этих пространств посредством рациональных функций важную роль играют количественные характеристики множеств [img: http://localhost:8080/file/041746-94.jpg], аналогичные аналитической емкостиg(е). В терминах g(е).задача об описании компактов Е, на к-рых любая непрерывная функция с любой точностью приближается рациональными функциями, решается следующим образом: необходимо и достаточно выполнение либо условия (а) [img: http://localhost:8080/file/041746-95.jpg] для любого круга [img: http://localhost:8080/file/041746-96.jpg] либо условия (б) [img: http://localhost:8080/file/041746-97.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/041746-98.jpg] (эквивалентность условий (а) и (б) выражает т. н. "неустойчивость" аналитической емкости). 3) Если Еограничено и измеримо йо Лебегу и 1 [img: http://localhost:8080/file/041746-99.jpg] р<2, то множество всех рациональных функций плотно в пространстве Lp(E). 4) Если р>0, G - односвязная область с жордановой спрямляемой границей, то семейство всех многочленов от z плотно в Смирнова классе Ep(G).тогда и только тогда, когда G - Смирнова область. 5) Пусть комплекснозначные функции (j1(z),..., jn(z), f(z) непрерывны на компакте [img: http://localhost:8080/file/041746-100.jpg]. Среди всех обобщенных полиномов вида [img: http://localhost:8080/file/041746-101.jpg] (с 1,..., с n - произвольные комплексные числа) обобщенный полином P0(z).является наименее уклоняющимся от f по метрике [img: http://localhost:8080/file/041746-102.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041746-103.jpg] для каждого P(z). 6) Если Е - компакт со связным дополнением Gи в G существует Грина функция (первой краевой задачи для уравнения Лапласа) g(z, [img: http://localhost:8080/file/041746-104.jpg]) с полюсом в [img: http://localhost:8080/file/041746-105.jpg], то при [img: http://localhost:8080/file/041746-106.jpg] для любого многочлена Р(z) степени псправедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/041746-107.jpg] 7) Если Е - ограниченный невырожденный континуум со связным дополнением G, f(z) непрерывна на Ес модулем непрерывности w(d) и аналитична во внутренних точках E, то [img: http://localhost:8080/file/041746-108.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041746-109.jpg] Если замкнутая область [img: http://localhost:8080/file/041746-110.jpg] ограничена аналитической кривой Г, то условие [img: http://localhost:8080/file/041746-111.jpg] эквивалентно выполнению для f(p)(z) в G условия Гельдера порядка a, 0<a<1. Изучен также случай, когда Г - кусочно гладкая кривая с углами. 8) В ряде случаев эффективным аппаратом приближения аналитич. ций являются различные интерполяционные процессы, в том числе Паде аппроксимации и их обобщения. 9) При n [img: http://localhost:8080/file/041746-112.jpg] 2 в [img: http://localhost:8080/file/041746-113.jpg] существуют как незамкнутые жордановы кривые, на к-рых не каждая непрерывная функция равномерно с любой точностью приближается многочленами от (z1,..., zn), так и замкнутые жордановы кривые, на к-рых многочленами равномерно приближается любая непрерывная функция. В [img: http://localhost:8080/file/041746-114.jpg] это невозможно. 10) К настоящему времени (1983) имеется сравнительно мало прямых теорем теории приближения рациональными функциями со свободными полюсами (т. е. без всяких условий на расположение полюсов приближающей функции) и значительное количество обратных теорем. Е. П. Долженко.