Примарный идеал

коммутативного кольца R - такой идеал [img: http://localhost:8080/file/041747-52.jpg], что если [img: http://localhost:8080/file/041747-53.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041747-54.jpg], то либо [img: http://localhost:8080/file/041747-55.jpg], либо [img: http://localhost:8080/file/041747-56.jpg] для нек-рого натурального числа п. В кольце целых чисел [img: http://localhost:8080/file/041747-57.jpg] П. и.- идеал вида [img: http://localhost:8080/file/041747-58.jpg], где р - простое, п - натуральное число. Важную роль в коммутативной алгебре играет представление любого идеала коммутативного нётерова кольца в виде пересечения конечного числа П. и.- примарное разложение. Более общо, пусть Ass(M).обозначает множество первичных идеалов кольца R, являющихся ан-нуляторами ненулевых подмодулей модуля М. Подмодуль Nмодуля Мнад нётеровым кольцом Rназ. примерным, если Ass(M/N) - одноэлементное множество. Если кольцо Rкоммутативно, то любой собственный подмодуль нётерова R-модуля, не пред-ставимый в виде пересечения двух строго содержащих его подмодулей, примарен. В некоммутативном случае это не так, поэтому предпринимались попытки построить различные некоммутативные обобщения понятия примарности. Напр., собственный подмодуль Nмодуля Мназ. примарным, если для любого ненулевого инъективного подмодуля Е' инъективной оболочки Емодуля M/N пересечение ядер гомоморфизмов из E в Е' тривиально. Другое удачное обобщение - понятие терциарного идеала [4]: левый идеал I нётерова слева кольца Rназ. терциарным, если для любых элементов [img: http://localhost:8080/file/041747-59.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/041747-60.jpg] следует, что для любого [img: http://localhost:8080/file/041747-61.jpg] найдется элемент [img: http://localhost:8080/file/041747-62.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/041747-63.jpg]. Оба эти обобщения приводят к некоммутативным аналогам примарного разложения. Каждый терциарный идеал нётерова кольца Rпримарен в том и только в том случае, когда кольцо Rудовлетворяет условию Артина - Риса: для любых левых идеалов I, J кольца Rнайдется натуральное число птакое, что [img: http://localhost:8080/file/041747-64.jpg] (см. [3]).