Присоединенное представление

группы Ли или алгебраической группы G - линейное представление Ad группы Gв касательном пространстве Te(G).(или в алгебре Ли [img: http://localhost:8080/file/041748-8.jpg] группы G), сопоставляющее каждому [img: http://localhost:8080/file/041748-9.jpg] дифференциал Ad a=d(Int a)e внутреннего автоморфизма Int a: [img: http://localhost:8080/file/041748-10.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/041748-11.jpg] - линейная группа в пространстве V, то [img: http://localhost:8080/file/041748-12.jpg] Ядро Кеr Ad содержит центр группы G, а в случае, когда G связна и основное поле имеет характеристику 0, совпадает с центром. Дифференциалом П. п. группы G в точке еслужит присоединенное представление ad алгебры [img: http://localhost:8080/file/041748-13.jpg]. Присоединенным представлением алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041748-14.jpg] наз. линейное представление ad алгебры [img: http://localhost:8080/file/041748-15.jpg] в модуле [img: http://localhost:8080/file/041748-16.jpg], действующее по формуле [img: http://localhost:8080/file/041748-17.jpg] где [, ] - операция в алгебре [img: http://localhost:8080/file/041748-18.jpg]. Ядро Кеr ad есть центр алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041748-19.jpg]. Присоединенные операторы ad x являются дифференцированиями алгебры [img: http://localhost:8080/file/041748-20.jpg] и наз. внутренними дифференцированиями. Образ ad [img: http://localhost:8080/file/041748-21.jpg] называется присоединенной алгеброй и является идеалом в алгебре Ли Der [img: http://localhost:8080/file/041748-22.jpg] всех дифференцирований алгебры [img: http://localhost:8080/file/041748-23.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/041748-24.jpg] есть пространство [img: http://localhost:8080/file/041748-25.jpg] 1-мерных когомологий алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041748-26.jpg], определяемых П. п. В частности, [img: http://localhost:8080/file/041748-27.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/041748-28.jpg] - полупростая алгебра Ли над полем характеристики 0.