Проективное представление

группы G- гомоморфизм этой группы в группу PGL(V).проективных преобразований проективного пространства P(V), связанного с векторным пространством Vнад полем k. С каждым П. п. ср группы Gсвязано центральное расширение этой группы [img: http://localhost:8080/file/041752-88.jpg] (*) где р- естеств. проекция группы GL(V).на PGL(V), i - вложение мультипликативной группы поля kв GL(V).в виде скалярных матриц, а Ej=p-1(j(G)). Каждое сечение sпроекции рнад j(G) задает отображение [img: http://localhost:8080/file/041752-89.jpg] обладающее свойством [img: http://localhost:8080/file/041752-90.jpg] где с: [img: http://localhost:8080/file/041752-91.jpg] - двумерный коцикл на группе G. Класс когомологий hэтого коцикла не зависит от выбора сечения s. Он определяется П. п. j и определяет класс эквивалентности расширения (*). Условие h=0 необходимо и достаточно для того, чтобы П. п. ф получалось факторизацией линейного представления группы G. П. п. естественным образом возникают при изучении линейных представлений расширений групп. Важнейшие примеры П. п.: спинорное представление ортогональной группы и представление Вейля симплектич. группы. На П. п. непосредственно переносятся определения эквивалентности и неприводимости линейных представлений. Классификация неприводимых П. п. конечных групп получена И. Шуром (I. Schur, 1904). П. п. наз. унитарным, если пространство Vгильбертово, а отображение Y можно выбрать так, чтобы оно принимало значение в группе U(V).унитарных операторов в V. Изучались унитарные неприводимые П. п. топологич. групп [4]; для связной группы Ли Gих изучение сводится к изучению унитарных неприводимых представлений односвязной группы Ли [img: http://localhost:8080/file/041752-92.jpg], алгебра Ли к-рой является центральным расширением алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/041752-93.jpg] группы G с помощью d-мерной коммутативной алгебры Ли, где d=dim H2 ([img: http://localhost:8080/file/041752-94.jpg]).