Проективный модуль

- модуль Р, удовлетворяющий любому из следующих эквивалентных условий: 1) для любого эпиморфизма модулей [img: http://localhost:8080/file/041753-20.jpg] и любого гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/041753-21.jpg] найдется такой гомоморфизм g: Р [img: http://localhost:8080/file/041753-22.jpg] С, что b=ag; 2) модуль Рявляется прямым слагаемым свободного модуля; 3) функтор Ноm (Р,-).точен; 4) любой эпиморфизм модулей [img: http://localhost:8080/file/041753-23.jpg] расщепляется. Теорема Капланского [2], утверждающая, что всякий П. м. является прямой суммой П. м. со счетным числом образующих, сводит изучение структуры П. м. к счетному случаю. П. м. с конечным числом образующих изучаются в алгебраической K-теории. Простейшим примером П. м. является свободный модуль. Над кольцами, разложимыми в прямую сумму, всегда существуют П. м., отличные от свободных. Совпадение классов проективных и свободных модулей доказано для локальных колец [2], колец многочленов над полем от нескольких неременных (см. [3], [4]).