Проективный объект

категории - понятие, формализующее свойства ретрактов (или прямых слагаемых) свободных групп, свободных модулей и т. п. Объект Ркатегории [img: http://localhost:8080/file/041753-24.jpg] наз. проективным, если для всякого эпиморфизма [img: http://localhost:8080/file/041753-25.jpg] и произвольного морфизма [img: http://localhost:8080/file/041753-26.jpg] найдется такой морфизм [img: http://localhost:8080/file/041753-27.jpg], что g=g'v Другими словами, объект Рпроективен, если основной функтор Нр (Х)=Н(Р, X).из [img: http://localhost:8080/file/041753-28.jpg] в категорию множеств [img: http://localhost:8080/file/041753-29.jpg] переводит эпиморфизмы из [img: http://localhost:8080/file/041753-30.jpg] в эпиморфизмы категории [img: http://localhost:8080/file/041753-31.jpg], т. е. в сюръективные отображения. Примеры. 1) В категории множеств всякий объект проективен. 2) В категории групп проективны свободные группы и только они. 3) В категории [img: http://localhost:8080/file/041753-32.jpg] левых модулей над ассоциативным кольцом L с единицей модуль проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым свободного модуля. Описание колец, над к-рыми всякий проективный модуль свободен, составляет содержание проблемы Серра. 4) В категории [img: http://localhost:8080/file/041753-33.jpg] все модули проективны тогда и только тогда, когда кольцо L классически полупросто. 5) В категории функторов [img: http://localhost:8080/file/041753-34.jpg] из малой категории [img: http://localhost:8080/file/041753-35.jpg] в категорию множеств [img: http://localhost:8080/file/041753-36.jpg] каждый объект проективен тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041753-37.jpg] - дискретная категория. В определении П. о. иногда предполагают, что функтор Н р переводит в сюръективные отображения не все эпиморфизмы, а морфизмы выделенного класса [img: http://localhost:8080/file/041753-38.jpg] В частности, если [img: http://localhost:8080/file/041753-39.jpg] - класс допустимых эпиморфизмов бикатегории [img: http://localhost:8080/file/041753-40.jpg]. то Р ваз. допустимым проективным объектом. Напр., в нек-рых многообразиях групп свободные группы этого многообразия являются допустимыми П. о. относительно класса всех сюръективных гомоморфизмов, но не являются П. о., поскольку существуют несюръек-тивные эпиморфизмы. Дуальным к понятию ГГ. о. является понятие и н ъ-ективного объекта. Фундаментальная роль проективных и ияъективных объектов была выявлена при построении гомологич. алгебры. В категориях модулей всякий модуль представим в виде фактор-модуля проективного модуля. Это свойство позволяет строить т. н. проективные резольвенты и исследовать различные типы гомологич. размерности.