Проекционный спектр

индексированное направленным множеством(А, >) семейство симплициальных комплексов [img: http://localhost:8080/file/041753-126.jpg] такое, что для каждой пары индексов [img: http://localhost:8080/file/041753-127.jpg], для к-рых a' >a, определено симплициальное отображение (проекция) [img: http://localhost:8080/file/041753-128.jpg] комплексов Na' на комплекс Na. При этом требуется, чтобы [img: http://localhost:8080/file/041753-129.jpg], когда a ">a'>a (условие транзитивности). Тогда и говорят, что задан проекционный спектр [img: http://localhost:8080/file/041753-130.jpg], или просто S= {Na, [img: http://localhost:8080/file/041753-131.jpg] }. Это понятие принадлежит П. С. Александрову (см. [2]); оно, по сути, эквивалентно общему понятию обратной системы, или обратного спектра (см. Спектр в категории). Действительно, каждый комплекс Na. естественным образом превращается в частично упорядоченное множество симплексов этого комплекса, а следовательно в топологическое T0 -пространство Na. При этом проекции [img: http://localhost:8080/file/041753-132.jpg] становятся непрерывными отображениями. Обратно, если {Na, [img: http://localhost:8080/file/041753-133.jpg] } - обратная система из топологических T0 -пространств и непрерывных проекций [img: http://localhost:8080/file/041753-134.jpg], то каждое T0 -пространство Na. естественно превращается в частично упорядоченное множество, а это частично упорядоченное множество реализуется в виде симплициального комплекса Na. При этом непрерывные проекции [img: http://localhost:8080/file/041753-135.jpg] становятся симплициальными отображениями. Таким образом, П. с.- это в точности обратная система из топологических T0 -пространств (см. [3]). Понятия "П. с." (а следовательно,. и обратной системы пространств) и нерва системы множеств (см. ниже) оказали огромное влияние не только на развитие топологии, но и на развитие всей теоретико-множественной математики. После этого стало возможным говорить о теории аппроксимации сложных топологических и алгебро-топологич. объектов более простыми. Если для каждого [img: http://localhost:8080/file/041753-136.jpg] комплекс Na, конечен, то спектр S={Na, [img: http://localhost:8080/file/041753-137.jpg] }. наз. конечным проекционным спектром. С каждым П. с. S={Na, [img: http://localhost:8080/file/041753-138.jpg] } связываются следующие понятия. Всякий набор симплексов [img: http://localhost:8080/file/041753-139.jpg] по одному из каждого комплекса Na. спектра Sназ. нитью этого спектра, если при a' >a всегда [img: http://localhost:8080/file/041753-140.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041753-141.jpg]. Множество [img: http://localhost:8080/file/041753-142.jpg] всех нитей с топологией, базу к-рой образуют множества вида [img: http://localhost:8080/file/041753-143.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041753-144.jpg] произвольны, [img: http://localhost:8080/file/041753-145.jpg] означает, что симплекс t'a0 нити x' в комплексе Na0 является гранью симплекса ta0, наз. полным пределом спектра S. Та же топология получается, если индуцировать на [img: http://localhost:8080/file/041753-146.jpg] топологию тихоновского произведения [img: http://localhost:8080/file/041753-147.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041753-148.jpg] - соответствующее комплексу Na топологическое T0 -пространство. Нить x'={t'a} объемлет нить x={ta}, если для каждого [img: http://localhost:8080/file/041753-149.jpg] выполнено [img: http://localhost:8080/file/041753-150.jpg]. Нить x наз. максимальной (соответственно минимальной), если не существует никакой отличной от нее нити, для к-рой она была бы объемлемой (соответственно объемлющей). Подпространство полного предельного пространства [img: http://localhost:8080/file/041753-151.jpg] спектра S, состоящее из всех максимальных (соответственно из всех минимальных) нитей, наз. верхним (соответственно нижним) пределом спектра S. Полный предел [img: http://localhost:8080/file/041753-152.jpg] является полурегулярным (в другой терминологии - семирегулярным) Т 0 -пространством, а верхний [img: http://localhost:8080/file/041753-153.jpg] и нижний [img: http://localhost:8080/file/041753-154.jpg] пределы суть Т 1 -пространства. Если S - конечный П. с., то [img: http://localhost:8080/file/041753-155.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041753-156.jpg] - бикомпактные пространства. В основе всей теории аппроксимации топология, пространств полиэдрами, вернее симилициальными комплексами, лежит введенное П. С. Александровым (см. [1]) понятие нерва системы множеств. Нервом данной системы а множеств наз. симнлициальный комплекс Na, вершины к-рого взаимно однозначно соответствуют элементам системы а таким образом, что каждое множество вершин определяет симплекс комплекса Na. тогда и только тогда, когда соответстнующие этим вершинам множества системы а имеют непустое пересечение. Удобнее рассматривать т. н. канонич. покрытия пространства X. Локально конечное (конечное) покрытие a пространства Xназ. каноническим, если его элементы - канонические множества (замкнутые) (в другой терминологии - регулярные замкнутые) с дизъюнктными открытыми ядрами. Если из двух канонич. покрытий пространства X покрытие a' следует за покрытием a, т. е. a' вписано в а (в этом случае a'>a), то определено естественное симплициаль-ное отображение [img: http://localhost:8080/file/041753-157.jpg] (проекция) нерва Na' на нерв Na, к-рое возникает, если каждому элементу [img: http://localhost:8080/file/041753-158.jpg] покрытия a' поставить в соответствие тот единственный элемент А a. покрытия a, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/041753-159.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041753-160.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/041753-161.jpg]) обозначает совокупность всех локально конечных (конечных) канонич. покрытий пространства X. Для каждого [img: http://localhost:8080/file/041753-162.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/041753-163.jpg]) обозначена вся совокупность всех локально конечных (конечных) канонич. покрытий пространства X. Для каждого [img: http://localhost:8080/file/041753-164.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/041753-165.jpg]) рассматривается комплекс Na, являющийся нервом покрытия a. Если a'>a, то определено симплициальное отображение [img: http://localhost:8080/file/041753-166.jpg]. Полученный таким образом П. с. [img: http://localhost:8080/file/041753-167.jpg] наз. полным (соответственно конечным) П. с. топологич. пространства X. П. С. Александров [2] еще в 1928 доказал, что каждый метрический (n-мерный) компакт является верхним пределом (n-мерного) конечного П. с. над счетным множеством индексов. А. Г. Курош в 1934 доказал, что каждый бикомпакт есть верхний предел своего конечного П. с. В 1961 В. И. Пономарев доказал, что каждый паракомпакт есть верхний предел своего полного П. с., то есть спектра, построенного над множеством [img: http://localhost:8080/file/041753-168.jpg] всех локально конечных канонич. покрытий пространства X. В. И. Пономарев ввел понятие расслабления симплициального комплекса К, понимая иод этим всякий замкнутый подкомплекс [img: http://localhost:8080/file/041753-169.jpg], содержащий все вершины комплекса К. Нульмерный комплекс, состоящий из всех вершин комплекса К, наз. его полным расслаблением (или остовом). Заменяя все комплексы данного П. с. их (полным) расслаблением и сохраняя при этом проекции, получают (полное) расслабление спектра. Исследование неприводимых совершенных отображений паракомпактов сводится к исследованию расслаблений их полных П. с. При этом предел полного расслабления полного П. с. паракомпакта Xесть т. н. абсолют [img: http://localhost:8080/file/041753-170.jpg] паракомпакта X, а предел полного расслабления конечного П. с. любого регулярного пространства - бикомпактное расширение Стоуна - Чеха [img: http://localhost:8080/file/041753-171.jpg] абсолюта [img: http://localhost:8080/file/041753-172.jpg] этого регулярного пространства. Всякий конечный абстрактный П. с. эквивалентен спектру над нек-рым направленным измельчающимся множеством конечных канонических покрытий нек-рого полурегулярного бикомпактного T0 -пространства, т. е. получается из этого спектра посредством конечного числа следующих операций: 1) замена спектра изоморфным ему спектром, 2) замена спектра его конфинальной частью, 3) замена спектра спектром, содержащим данный в качестве конфинальной части (теорема Зайцева). Понятия нерва и П. с. доставили средства для редукции свойств общих пространств, и прежде всего паракомпактов, бикомпактов и метрич. компактов, к свойствам комплексов и их симплициальных отображений. Это позволило определить и изучать гомологические и когомологические инварианты общих пространств, а не только полиэдров (см. Александрова - Чеха гомологии и когомологии, Спектральные гомологии). Все это привело к синтезу геометрических и теоретико-множественных идей в топологии.