Произведение

семейства объектов категории - понятие, описывающее на языке морфизмов конструкцию декартова произведения. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041753-174.jpg] - индексированное семейство объектов категории [img: http://localhost:8080/file/041753-175.jpg]. Объект [img: http://localhost:8080/file/041753-176.jpg] (вместе с морфизмами [img: http://localhost:8080/file/041753-177.jpg]) наз. произведением семейства объектов [img: http://localhost:8080/file/041753-178.jpg], если для всякого семейства морфизмов [img: http://localhost:8080/file/041753-179.jpg], существует такой единственный морфизм [img: http://localhost:8080/file/041753-180.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041753-181.jpg]. Морфизмы pi наз. проекциями произведения; П. обозначается, или [img: http://localhost:8080/file/041753-182.jpg], или A1X...X А n в случае [img: http://localhost:8080/file/041753-183.jpg] I={1,..., п}. Морфизм а, входящий в определение П., иногда обозначается [img: http://localhost:8080/file/041753-184.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041753-185.jpg]. П. семейства [img: http://localhost:8080/file/041753-186.jpg], определено однозначно с точностью до изоморфизма; оно ассоциативно и коммутативно. Понятие П. семейства объектов двойственно понятию копроизведения семейства объектов. Произведением пустого семейства объектов является правый нуль (терминальный объект) категории. В большинстве категорий структуризованных множеств (категории множеств, групп, топологич. пространств и т. д.) понятие П. семейства объектов совпадает с понятием декартова (прямого) П. этих объектов. Тем не менее такое совпадение но является обязательным: в категории периодических абелевых групп П. семейства групп [img: http://localhost:8080/file/041753-187.jpg], есть иериодич. часть декартова П. этих групп, к-рая в общем случае отличается от самого декартова П. В категориях с нулевыми морфизмами для любого произведения [img: http://localhost:8080/file/041753-188.jpg] существуют такие однозначно определенные морфизмы [img: http://localhost:8080/file/041753-189.jpg], что sipi=lAi, sipi=0 при [img: http://localhost:8080/file/041753-190.jpg]. Если I конечно, то в абелевой категории p1s1+...+pnsn=1 и П. семейства объектов А 1,..., А п совпадает с их копроизведением.