Произвольных постоянных вариация

метод решения линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных систем (или уравнений). Этот метод позволяет записать в замкнутой форме общее решение неоднородной системы, если известно общее решение соответствующей однородной системы. Идея метода П. п. в. состоит в том, что произвольные постоянные, входящие в общее решение однородной системы, заменяются функциями независимой переменной, к-рые подбираются так, чтобы удовлетворить неоднородной системе. В конкретных задачах этот метод применялся еще Л. Эйлером (L. Euler) и Д. Бернулли (D. Bernoulli), но его полная разработка принадлежит Ж. Лагранжу [1]. Пусть рассматривается задача Коши для линейной неоднородной системы [img: http://localhost:8080/file/041754-31.jpg] (1) где [img: http://localhost:8080/file/041754-32.jpg] - суммируемые на каждом конечном отрезке отображения, [img: http://localhost:8080/file/041754-33.jpg]. Если Ф(t) - фундаментальная матрица решений однородной системы [img: http://localhost:8080/file/041754-34.jpg] (2) то [img: http://localhost:8080/file/041754-35.jpg],- общее решение этой системы. П. п. в. представляет собой замену переменных в системе (1): [img: http://localhost:8080/file/041754-36.jpg] и приводит кформуле Коши для решения задачи [img: http://localhost:8080/file/041754-37.jpg] (1): к-рую наз. иногда формулой вариации (произвольных) постоянных (см. также Линейное дифференциальное уравнение обыкновенное). Идею П. п. в. иногда удается использовать в более общей нелинейной ситуации для описания связи решений возмущенной полной системы и решений невозмущенной укороченной системы (см. [3], [4]). Напр., для решения х(t).задачи [img: http://localhost:8080/file/041754-38.jpg] (где А, f - непрерывные отображения и где обеспечивается условие единственности решения) справедлива формула П. п. в., являющаяся интегральным уравнением: [img: http://localhost:8080/file/041754-39.jpg] здесь Ф(t) - фундаментальная матрица решений системы (2).