Простой идеал

- двусторонний идеал Ркольца Rтакой, что из [img: http://localhost:8080/file/041755-53.jpg], где Аи В - идеалы в R, следует, что либо [img: http://localhost:8080/file/041755-54.jpg], либо [img: http://localhost:8080/file/041755-55.jpg]. Для ассоциативного кольца экливалентным определением на языке элементов будет следующее: [img: http://localhost:8080/file/041755-56.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041755-57.jpg], где а, b - элементы кольца R. Всякий примитивный идеал прост. Пусть R - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда простота идеала [img: http://localhost:8080/file/041755-58.jpg] эквивалентна тому, что [img: http://localhost:8080/file/041755-59.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041755-60.jpg], т. е. тому, что фактор-кольцо R/Р есть область целостности. В этом случае всякий максимальный идеал прост, а пересечение всех простых идеалов кольца Rявляется радикалом нулевого идеала (т. е. множеством нильпотентных элементов). Обобщением понятия П. и. служит понятие примарного идеала. В теории примарных разложений П. и. играют ту же роль, что простые числа в разложении целых чисел по степеням простых, а примерные идеалы - роль степеней простых чисел. Идеал Ррешетки Lназ. простым, если [img: http://localhost:8080/file/041755-61.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041755-62.jpg]. Идеал Рпрост тогда и только тогда, когда F=LP - простой фильтр, т. е. если [img: http://localhost:8080/file/041755-63.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041755-64.jpg]