Пространство с мерой

(X, А, m) - измеримое пространство(X, А).с заданной на А мерой и (т. е. счетно аддитивной функцией со значениями в [0, [img: http://localhost:8080/file/041756-70.jpg] ], для к-рой m([img: http://localhost:8080/file/041756-71.jpg])=0; последнее свойство следует из аддитивности, если мера конечна, т. е. не принимает значения [img: http://localhost:8080/file/041756-72.jpg], и даже если имеется хоть одно [img: http://localhost:8080/file/041756-73.jpg] с mY< [img: http://localhost:8080/file/041756-74.jpg]). Запись (X, А,m) часто сокращают до (X,m) и говорят, что m есть мера на X;иногда эту запись сокращают даже до X. Основной случай - когда Аявляется s-алгеброй и Xможно представить в виде [img: http://localhost:8080/file/041756-75.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/041756-76.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041756-77.jpg]; меру в этом случае наз. (вполне) а-конечной (а если [img: http://localhost:8080/file/041756-78.jpg], то (вполне) конечной). Такова, напр., мера Лебега на [img: http://localhost:8080/file/041756-79.jpg] (см. Лебега пространство). Однако иногда встречаются и не о-конечньте меры, как, напр., k- мерная Хаусдорфа мера на [img: http://localhost:8080/file/041756-80.jpg] при k<n. Встречаются также модификации, когда и принимает значения в ([img: http://localhost:8080/file/041756-81.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041756-82.jpg] ], комплексные, или векторные значения, а также когда m. всего лишь конечно аддитивна.