Псевдовыпуклость и псевдовогнутость

свойства областей в комплексных пространствах, а также комплексных пространств и функций на них, аналогичные свойствам выпуклости и вогнутости областей и функций в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041757-116.jpg]. Вещественная функция j класса С 2 на открытом множестве [img: http://localhost:8080/file/041757-117.jpg] наз. р-псевдовыпуклой (или р- выпуклой), если эрмитова форма [img: http://localhost:8080/file/041757-118.jpg] имеет в каждой точке области Uне менее чем п=р+1 неотрицательных собственных значений. В случае, когда Н(j) имеет не менее чем n=р+1 положительных собственных значений, говорят, что j сильно (или строго) р- псевдовыпукла. В частности, (сильно) 1-псевдовыпуклые функции - это (строго) плюрисубгармонические функции класса С 2. Функция на аналитич. множестве [img: http://localhost:8080/file/041757-119.jpg] наз. (сильно) р-выпуклой, если она является ограничением сильно р-псевдовыпуклой функции на U. Наконец, (сильно) р-выпуклая функция на произвольном комплексном пространстве X - это непрерывная функция на X, к-рая в окрестности любой точки представляется (сильно) р-выпуклой функцией в соответствующей локальной модели (см. Аналитическое пространство). Комплексное пространство Xназ. (р, q)-выпукло - вогнутым, если существуют непрерывная функция [img: http://localhost:8080/file/041757-120.jpg] и такие d0, c0, где [img: http://localhost:8080/file/041757-121.jpg], что для любых [img: http://localhost:8080/file/041757-122.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041757-123.jpg] множество [img: http://localhost:8080/file/041757-124.jpg] относительно компактно в X, а j сильно р-выпукла на [img: http://localhost:8080/file/041757-125.jpg] и сильно (q-выпукла на [img: http://localhost:8080/file/041757-126.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/041757-127.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041757-128.jpg], то пространство Xназ. сильно р-псевдовыпуклым или сильно q- вогнутым соответственно. Если же [img: http://localhost:8080/file/041757-129.jpg], то Xназ. р-полным. Примеры. 1) Открытое множество Xс гладкой границей дХ в комплексном многообразии Мназ. строго р-псевдовыпуклым (строгор-псевдовогнутым), если всякая точка [img: http://localhost:8080/file/041757-130.jpg] обладает окрестностью U, в к-рой существует такая сильно р-выпуклая функция j, что [img: http://localhost:8080/file/041757-131.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041757-132.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/041757-133.jpg]) Всякое строго р-псевдовыпуклое (строго р-псевдовогнутое) относительно компактное открытое множество является сильно р-выпуклым (сильно р-вогнутым) многообразием. Если нен-рые компоненты границы дХ удовлетворяют условию р-псевдовыпуклости, а другие - условию q-псевдовогнутости, то получаются примеры (р, q)-выпукло-вогнутых многообразий. 2) Компактные комплексные пространства естественно считать 0-выпуклыми. 3) Класс 1-полных пространств совпадает склассом Штейна пространств. 4) Класс сильно 1-выпуклых пространств совпадает с классом пространств, получающихся из пространств Штейна путем собственной модификации в конечном множестве точек. 5) Пусть X - компактное комплексное многообразие размерности n, S - его замкнутое подмногообразие, все компоненты к-рого имеют размерность q. Тогда XS является сильно (q+1)-вогнутым, а если нормальное расслоение над Sположительно - сильно (п-q)-выпуклым пространством. 6) Если S- замкнутое подмногообразие коразмерности рв многообразии Штейна X, то ХS р-полно. 7) Голоморфное векторное расслоение Еранга rнад многообразием Xназ. р-положительным (q-oтрицательным), если на Есуществует такая послойная эрмитова метрика h, что функция c(v)=-h(v, v).на Еявляется сильно (р + r)-въшуклой (соответственно -cявляется сильно q-выпуклой) вне нулевого сечения (в случаях p=1 и q=1 получают понятия положительного расслоения и отрицательного расслоения). Если Xкомпактно, то пространство р-положительного расслоения Еявляется сильно (р+r)-вогнутым, а пространство q-отрицательного расслоения - сильно q-выпуклым. Пространство голоморфного векторного расслоения над р-полным пространством всегда р-полно. Для (р, q)-выпукло-вогнутых пространств доказаны теоремы о конечномерности и отделимости нёк-рых пространств когомологий со значениями в когерентных аналитич. чках (см. Конечности теоремы в теории аналитических пространств). Аналогичные теоремы конечности доказаны также и для сильно (р, q)-выпукло-вогнутых отображений (см. [1], [2]). Пространство Xявляется сильно 1-выпуклым тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041757-134.jpg] для всех rи любого когерентного аналитич. чка Fна X. Если Xр-полно, то Hr(X, F)=0 для всех [img: http://localhost:8080/file/041757-135.jpg] и любого когерентного аналитич. чка Fна X. Группы гомологии р-выпуклых и р-полных пространств обладают следующими свойствами. Если Xесть re-мерное приведенное сильно р-выпуклое (р-полное) комплексное пространство, то [img: http://localhost:8080/file/041757-136.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/041757-137.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/041757-138.jpg]. Для сильно 1-выпуклых пространств известно также, что группы [img: http://localhost:8080/file/041757-139.jpg] конечно порождены при [img: http://localhost:8080/file/041757-140.jpg], а для р-полных многообразий, - что [img: http://localhost:8080/file/041757-141.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/041757-142.jpg] и что группа [img: http://localhost:8080/file/041757-143.jpg] свободна. Комплексное пространство Xназ. псевдовогнутым, если в Xсуществует относительно компактное открытое множество U, пересекающее каждую неприводимую компоненту пространства Xи удовлетворяющее следующему условию: любая точка [img: http://localhost:8080/file/041757-144.jpg] обладает такой окрестностью Vв X, что для любых точек [img: http://localhost:8080/file/041757-145.jpg], достаточно близких к х 0, [img: http://localhost:8080/file/041757-146.jpg] для всех голоморфных функций f в V. Если Xесть n-мерное многообразие, [img: http://localhost:8080/file/041757-147.jpg], то достаточно, чтобы множество Uбыло сильно (п-1)-псевдовогнутым в X. Любое компактное пространство псевдовогнуто. Для псевдовогнутых пространств Xдоказаны следующие теоремы конечности: пространство голоморфных сечений любого голоморфного векторного расслоения над X конечномерно; если X связно, то все голоморфные функции на Xпостоянны; поле мероморфных функций на Xесть поле алгебраич. функций, степень трансцендентности k-рого не превосходит dim X. Последняя теорема имеет важные приложения к автоморфным функциям, основанные на том, что пространство D/Г, где Г - собственно разрывная группа автоморфизмов ограниченной области Dв [img: http://localhost:8080/file/041757-148.jpg], во многих случаях оказывается псевдовогнутым (в этом случае говорят, что Г - псевдовогнутая группа). Напр., псевдовогнутыми являются арифметич. подгруппы групп автоморфизмов ограниченных симметрич. областей.