Псевдогрупповая структура

на многообразии M - максимальный атлас Агладких локальных диффеоморфизмов многообразия Мна фиксированное многообразие V, все функции перехода между к-рыми принадлежат данной псевдогруппе Г локальных преобразований многообразия V. Псевдогруппа Г наз. определяющей псевдогруппой, а многообразие V - модельным пространством. П. с. с определяющей псевдогруппой Г наз. также Г-структурой. Более подробно, множество А V -значных карт многообразия М(т. е. диффеоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/041758-28.jpg] открытых подмножеств [img: http://localhost:8080/file/041758-29.jpg] на открытые подмножества [img: http://localhost:8080/file/041758-30.jpg]) называется П. с., если а) любая точка [img: http://localhost:8080/file/041758-31.jpg] принадлежит области определения нек-рой карты j из А;б) для любых карт [img: http://localhost:8080/file/041758-32.jpg] из Афункция перехода [img: http://localhost:8080/file/041758-33.jpg] является локальным преобразованием данной псевдогруппы Г; в) множество А является максимальным множеством карт, удовлетворяющих условию 2). Примеры П. с. 1) Псевдогруппа Г преобразований многообразия Vзадает П. с. (V, Г) на V, картами к-рой служат локальные преобразования из Г. Она наз. стандартной плоской Г-структурой.2) Пусть V=К n есть га-векторное пространство над [img: http://localhost:8080/file/041758-34.jpg] или левый модуль над телом кватернионов [img: http://localhost:8080/file/041758-35.jpg], а Г - псевдогруппа локальных преобразований V, главные линейные части к-рых принадлежат группе GL(n, К). Соответствующая Г-структура на многообразии Месть структура гладкого многообразия при [img: http://localhost:8080/file/041758-36.jpg], комплексного аналитич. многообразия при [img: http://localhost:8080/file/041758-37.jpg] и специального кватернионпого многообразия при [img: http://localhost:8080/file/041758-38.jpg]. 3) Пусть Г - псевдогруппа локальных преобразований векторного пространства V, сохраняющих данный тензор S. Задание Г-структуры равносильно заданию интегрируемого ноля тензоров типа 5 на многообразии М. Напр., если S - невырожденная кососимметричная 2-форма, то Г-структура есть симплектич. структура. 4) Пусть Г - псевдогруппа локальных преобразовании пространства [img: http://localhost:8080/file/041758-39.jpg], сохраняющих с точностью до функционального множителя дифференциальную 1-форму [img: http://localhost:8080/file/041758-40.jpg] Тогда Г-структура есть контактная структура. 5) Пусть V=G/H - однородное пространство группы Ли G, а Г - псевдогруппа локальных преобразований V, продолжающихся до преобразований из группы G. Тогда Г-структура паз. П. с., определяемой однородным пространством V. Примерами таких структур являются структура пространства постоянной кривизны (в частности, локально евклидова пространства), плоские конформные и проективные структуры. Пусть Г - транзитивная псевдогруппа Ли преобразований пространства [img: http://localhost:8080/file/041758-41.jpg] порядка l;Г-структура Ана многообразии Мопределяет главное подрасслое-ние [img: http://localhost:8080/file/041758-42.jpg] расслоения кореперов любого порядка kна M, состоящее из k-струй карт из А: [img: http://localhost:8080/file/041758-43.jpg] Структурной группой расслоения pk, является группа изотропии k- гoпорядка Gk (Г) псевдогруппы Г, к-рая действует на Bk по формуле [img: http://localhost:8080/file/041758-44.jpg] Расслоение pk наз. k-м структурным расслоением или Gk (Г)-структурой, определяемой П. с. А. Расслоение pl, где l - порядок псевдогруппы Г, в свою очередь, однозначно определяет П. с. Акак множество карт [img: http://localhost:8080/file/041758-45.jpg], для к-рых [img: http://localhost:8080/file/041758-46.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/041758-47.jpg] Геометрия расслоения pk характеризуется наличием канонической Gk (Г)-эквивариантной горизонтальной относительно проекции [img: http://localhost:8080/file/041758-48.jpg] 1-формы [img: http://localhost:8080/file/041758-49.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041758-50.jpg] со значением в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041758-51.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041758-52.jpg] - алгебра Ли группы изотропии [img: http://localhost:8080/file/041758-53.jpg]. Она задается формулой [img: http://localhost:8080/file/041758-54.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041758-55.jpg] и удовлетворяет нек-рому структурному уравнению Маурера - Картана. Алгебра Ли инфинитезимажных автоморфизмов Г-структуры может быть охарактеризована как алгебра Ли векторных полей на В l, сохраняющих каноническую 1-форму ql. Основной проблемой теории П. с. является проблема описания П. с. па многообразии с определяющей псевдогруппой Г с точностью до эквивалентности. Две П. с. на многообразии иаз. эквивалентными, если одна из них может быть переведена в другую диффеоморфизмом многообразия. Пусть Г - глобализуемая транзитивная псевдогруппа преобразований односвязного многообразия V. Любое односвязное многообразие Мс Г-структурой Адопускает отображение [img: http://localhost:8080/file/041758-56.jpg], называемое разверткой Картана, к-рое локально является изоморфизмом Г-структур. Если Г-структура Аобладает нек-рым условием полноты, в частности, если многообразие Мкомпактно, то отображение r является изоморфизмом Г-структур и все Г-структуры рассматриваемого типа являются формами стандартной Г-структуры V, т. е. получаются из Vфакторизацией по свободно действующей дискретной группе автоморфизмов (V, Г). Так обстоит дело, напр., с (псевдо)римановыми структурами постоянной кривизны и с конформно плоскими структурами на компактных многообразиях М n, n>2. Важное место в теории П. с. занимает теория деформаций, первоначально развитая для комплексной структуры. В ней изучается вопрос об описании нетривиальных деформаций Г-структуры А, т.