Псевдоевклидово пространство

действительное аффинное пространство, в к-ром каждым двум векторам a и b поставлено в соответствие определенное число, называемое скалярным произведением (а, b). 1) Скалярное произведение коммутативно: (а, b) =(b, а). 2) скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов: (а(b + с)) = (а, b) +(а, с). 3) числовой множитель можно вынести за знак скалярного произведения: (ka, b) = k(a, b). 4) существуют такие пвекторов аi, что [img: http://localhost:8080/file/041758-179.jpg] Число пназ. размерностью П. п., l - индексом, пара чисел (l, р), р=п-l, -сигнатурой. П. п. обозначается Е (l,р) (или l Е п). Пространство Е (1,3) наз. Минковского пространством. В пространстве E(l,p) во всякой системе пвекторов bi, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/041758-180.jpg] и (bi, bj)=0 при [img: http://localhost:8080/file/041758-181.jpg], число векторов bi, для к-рых (bi, bi)>0, равно l, а число векторов bi, для к-рых (bi, bi)<0, равно п-l (закон инерции квадратичной форм ы). Модуль | а| вектора аП. п. может быть определен как неотрицательный корень [img: http://localhost:8080/file/041758-182.jpg]. Векторы, скалярные квадраты к-рых равны 1 и -1, наз. соответственно единичными и мнимоединичными векторами. Векторы x, для к-рых (x, x)=0, обладают нулевым модулем и наз. изотропными векторами; направления изотропных векторов - изотропными направлениями. В П. п. имеются три вида прямых: евклидовы, направляющий вектор к-рых имеет положительный скалярный квадрат ((а, а)>0), псевдоевклидовы (а, а)<0) и изотропные ((a, а)=0). Совокупность всех изотропных прямых, проходящих через нек-рую точку, наз. изотропным конусом. В П. п. имеется несколько видов плоскостей: евклидовы плоскости Е 2, псевдоевклидовы плоскости E(1;1) и плоскости, содержащие изотропные векторы,- т. н. полуевклидовы плоскости сигнатуры (0,1) и (1,0) и дефекта 1 (см. Полуевклидово пространство).и изотропные плоскости, все векторы к-рых изотропны. За расстояние между точками А(x)и В(x) принимается модуль вектора [img: http://localhost:8080/file/041758-183.jpg], и оно может быть вычислено следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/041758-184.jpg] П. п. не является метрич. пространством, т. к. в нем не выполняется неравенство треугольника. Если векторы а и b принадлежат евклидовой плоскости (или псевдоевклидовой плоскости индекса 0), то для них выполняется неравенство треугольника, а если они принадлежат псевдоевклидовой плоскости индекса 1, то для них выполняется т. н. обратное неравенство треугольника: [img: http://localhost:8080/file/041758-185.jpg] В П. п. имеются три вида сфер: сферы с положительным квадратом радиуса: (x, x)=r2, сферы с отрицательным квадратом радиуса: (х, x)=- s2 и сферы нулевого радиуса: (x, x)=0, совпадающие с изотропным конусом. Движения П. Оператор Uудовлетворяет условию |Ux|=|x|, т. Антидвижением П. п. называют геометрич. преобразование, при к-ром всякий вектор апереходит в вектор а' такой, что (а, а)=-(а', а'). В П. п. можно ввести основные операции векторной и тензорной алгебры. Основные дифференциально-геометрич. понятия строятся в соответствии с правилами геометрии псевдоримановых пространств. Метрич. тензор П. п. имеет вид (в галилеевой системе координат) [img: http://localhost:8080/file/041758-186.jpg] П. п. является плоским, т. е. его Римана тензор равен нулю. Если тензор Римана псевдориманова пространства равен нулю тождественно, то оно является л о-кально псевдоевклидовым пространством. Подмногообразия П. п. могут нести различные метрики: положительно или отрицательно определенную риманову метрику, псевдориманову метрику и вырожденную метрику (см. Индефинитная метрика). Так, напр., сферы П. п. несут (вообще говоря, индефинитную) метрику постоянной кривизны. В E(1, n-1) сфера с положительным квадратом радиуса является (п-1)-мерным пространством, изометричным пространству Лобачевского. П. п. E(l, p)(l+р=п).и евклидово пространство Е n можно рассматривать как подпространства комплексного пространства с формой [img: http://localhost:8080/file/041758-187.jpg]. Если xj - координаты П. п., yj - действительного евклидова пространства, zj - комплексного евклидова пространства, то уравнения подпространств имеют вид [img: http://localhost:8080/file/041758-188.jpg] Метрику П. п. можно формально получить из метрики евклидова пространства заменой [img: http://localhost:8080/file/041758-189.jpg]