Пуассона интеграл

- интегральное представление решения Дирихле задачи для Лапласа уравнения в простейших областях. Так, П. и. для шара Bn (0, R).евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/041760-26.jpg], радиуса Rс центром в начале координат имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041760-27.jpg] (1) где f(у) - данная непрерывная функция на сфере Sn(0, R).радиуса R, [img: http://localhost:8080/file/041760-28.jpg] - ядро Пуассона для шара, sn= =npn/2Rn-1/Г(n/2+1) площадь сферы Sn(0, R), dSn - элемент площади Sn(0, R). С. Пуассон [1] пришел к формуле (1) в случае n=2 как к интегральной форме записи суммы тригонометрии, ряда [img: http://localhost:8080/file/041760-29.jpg] где ak, bk - коэффициенты Фурье функции f(y)=f(elj),(r,q) и (1, j)- полярные координаты соответственно точек х=rе iq и y= е iq, когда ядро Пуассона имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041760-30.jpg] (2) (о применениях П. и. в теории тригонометрич. рядов см. [3], а также Абеля - Пуассона метод суммирования). П. и. для полупространства [img: http://localhost:8080/file/041760-31.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041760-32.jpg] (3) где [img: http://localhost:8080/file/041760-33.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041760-34.jpg] - элемент площади [img: http://localhost:8080/file/041760-35.jpg], f (у) - ограниченная непрерывная функция на [img: http://localhost:8080/file/041760-36.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041760-37.jpg] - ядро Пуассона для полупространства. Формулы (1) и (3) суть частные случаи формулы Грина [img: http://localhost:8080/file/041760-38.jpg] (4) дающей решение задачи Дирихле для областей [img: http://localhost:8080/file/041760-39.jpg] с гладкой границей Г при помощи производной dG(x, y)/dny функции Грина G(x, у)по направлению внутренней нормали к Г в точке [img: http://localhost:8080/file/041760-40.jpg]. Иногда формулу (4) также наз. П. и. Основные свойства П. и.: 1) и(х).есть гармонич. функция координат точки х;2) П. и. дает решение задачи Дирихле с граничными данными f(у).в классе (ограниченных) гармонич. функций, т. е. функция и(х), продолженная на границу области значениями f(y), непрерывна в замкнутой области. На этих свойствах основаны применения П. и. в классической математич. физике (см. [4]). П. и., понимаемый в смысле Лебега, от суммируемой функции f(y), напр, на Sn(0, R), наз. интегралом Пуассона - Лебега; интеграл вида [img: http://localhost:8080/file/041760-41.jpg] (5) по произвольной конечной борелевской мере m, сосредоточенной на Sn(0, R), наз. интегралом Пуассона - Стилтьеса. Класс Агармонич. функций и(х), представимых интегралом (5), характеризуется тем, что любая функция [img: http://localhost:8080/file/041760-42.jpg] есть разность двух неотрицательных гармонич. функций в В п(0, R). Класс функций, представимых интегралом Пуассона - Лебега, есть правильный подкласс класса А, содержащий, в свою очередь, все ограниченные гармонич. функции в В п(0, R). Для почти всех точек [img: http://localhost:8080/file/041760-43.jpg] по мере Лебега на Sn(0, R) интеграл Пуассона - Стилтьеса (5) имеет угловые граничные значения, совпадающие со значением производной m'(у). меры m по мере Лебега. Теория интегралов Пуассона - Стилтьеса и Пуассона - Лебега строится и для случая полупространства (см. [5]). Большую роль в теории аналитич. ций многих комплексных переменных и в ее применениях к квантовой теории поля играют различные модификации П. и. Напр., ядро Пуассона для поликруга [img: http://localhost:8080/file/041760-44.jpg] комплексного пространства С n получается при перемножении ядер (2): Соответствующий [img: http://localhost:8080/file/041760-45.jpg] П. и. [img: http://localhost:8080/file/041760-46.jpg] по остову поликруга [img: http://localhost:8080/file/041760-47.jpg], j=1,..., n} дает кратногармонич. функцию [img: http://localhost:8080/file/041760-48.jpg], принимающую на остове Т n непрерывные значения f(z). Рассматриваются также обобщения в виде интегралов Пуассона - Лебега и Пуассона - Стилтьеса (см. [6]). В квантовой теории поля применяются П. и. для трубчатых областей TC комплексного пространства [img: http://localhost:8080/file/041760-49.jpg] над выпуклым открытым острым конусом Св пространстве [img: http://localhost:8080/file/041760-50.jpg] (с вершиной в начале координат) вида [img: http://localhost:8080/file/041760-51.jpg] П. и. для полуплоскости вида (3) при n=2 есть частный случай таких П. и. для трубчатых областей. П. и. для ограниченных симметрич. областей пространства С n представляется так же, как П. и. для трубчатой области в пространстве матриц. Понимая плотность П. и. f как обобщенную функцию, а сам П. и.- как свертку f с ядром Пуассона, приходят к важному понятию П. и. от обобщенных функций определенных классов (см. [7]-[9]).