Пфаффа уравнение

- уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/041762-49.jpg] (1) где [img: http://localhost:8080/file/041762-50.jpg] - дифференциальная 1-форма, функции aj(x), j=1,..., п., действительнозначны. Пусть aj(x) [img: http://localhost:8080/file/041762-51.jpg] С 1 (О).и векторное поле а(х)=(а 1 (х),..., а n (х)).не имеет критич. точек в области D. Многообразие [img: http://localhost:8080/file/041762-52.jpg] размерности [img: http://localhost:8080/file/041762-53.jpg] и класса С 1 наз. интегральным многообразием П. у. (1), если [img: http://localhost:8080/file/041762-54.jpg] на Mk. П. у. наз. вполне интегрируемым, если через каждую точку области Dпроходит интегральное многообразие максимально возможной размерности n-1 и притом только одно. Теорема Фробениуса: для того чтобы П. у. (1) было вполне интегрируемым, необходимо и достаточно выполнение условия [img: http://localhost:8080/file/041762-55.jpg] (2) В этом случае интегрирование П. у. сводится к интегрированию семейства систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В трехмерном евклидовом пространстве П. у. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041762-56.jpg] (3) где Р, Q, R - функции от х, у, z, а условие (2) полной интегрируемости принимает вид [img: http://localhost:8080/file/041762-57.jpg] (4) или (rot F, F)=0, где F =(P, Q, R). В этом случае существуют гладкие функции m, U [img: http://localhost:8080/file/041762-58.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/041762-59.jpg] и интегральные поверхности П. у. (3) задаются уравнениями U(х, у,z)=const. Если Fесть нек-рое силовое поле, то поле m-1F имеет потенциальную функцию, равную U. Если П. у. (3) не вполне интегрируемо, то оно не имеет интегральных поверхностей, но может иметь интегральные кривые. Если заданы произвольные функции x=x(t), y=y(t), то (3) будет обыкновенным дифференциальным уравнением для z и кривая x=x(t), y=y(t), z=z(t).будет интегральной. Постановка задачи об исследовании уравнения (1) для произвольного [img: http://localhost:8080/file/041762-60.jpg] и о приведении дифференциальной 1-формы w к канонич. виду принадлежит И. Пфаффу [1]. Условие (4) впервые было получено Л. Эйлером в 1755 (см. [2] гл. IX). Локально любое П. у. с помощью гладкой замены переменных приводится к виду [img: http://localhost:8080/file/041762-61.jpg] (5) где у 0,..., у р, z1,..., zp - новые независимые переменные [img: http://localhost:8080/file/041762-62.jpg]. Число 2р+1 наз. классом П. у.; здесь р- наибольшее число такое, что дифференциальная форма [img: http://localhost:8080/file/041762-63.jpg] степени 2p+l не равна тождественно нулю. При р=0 П. у. вполне интегрируемо. Функции у 0 (х),..., y р (х).наз. первыми интегралами П. у. (о), а его интегральные многообразия максимально возможной размерности п-р-1 задаются уравнениями [img: http://localhost:8080/file/041762-64.jpg] Системой Пфаффа наз. система уравнений вида [img: http://localhost:8080/file/041762-65.jpg] (6) где [img: http://localhost:8080/file/041762-66.jpg] - дифференциальные 1-формы: [img: http://localhost:8080/file/041762-67.jpg] Ранг rматрицы ||wjk (х)||наз. рангом системы Пфаффа в точке х. Система Пфаффа наз. вполне интегрируемой, если через каждую точку [img: http://localhost:8080/file/041762-68.jpg] проходит интегральное многообразие максимально возможной размерности п-r и притом только одно. Теорема Фробениуса: для того чтобы система Пфаффа (6) была вполне интегрируемой, необходимо и достаточно выполнение условий [img: http://localhost:8080/file/041762-69.jpg] Задача об интегрировании любой конечной нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными эквивалентна задаче об интегрировании нек-рой системы Пфаффа (см. [6]). Получен ряд результатов по аналитич. теории систем Пфаффа. Рассматривалась вполне интегрируемая система Пфаффа [img: http://localhost:8080/file/041762-70.jpg] из туравнений, где р, q - положительные целые числа, а вектор-функции f(х, у, z), g(x, у,z) голоморфны в точке х=0, у=0, z=0;указаны достаточные условия существования голоморфного в начале координат решения (см. [7]), приведены обобщения на большее число независимых переменных.