Равномерная ограниченность

сверху (снизу) - свойство семейства действительных функций [img: http://localhost:8080/file/041801-68.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041801-69.jpg] - нек-рое множество индексов, X - произвольное множество, означающее, что существует такая постоянная с> 0, что для всех [img: http://localhost:8080/file/041801-70.jpg] и всех [img: http://localhost:8080/file/041801-71.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/041801-72.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/041801-73.jpg]). Семейство функций [img: http://localhost:8080/file/041801-74.jpg], наз. равномерно ограниченным, если оно равномерно ограничено как сверху, так и снизу. Понятие Р. о. семейства функций обобщается на случай отображений в нормированные и полунормированные пространства: семейство отображений [img: http://localhost:8080/file/041801-75.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041801-76.jpg] - произвольное множество, a Y - полунормированное пространство с полунормой (нормой) ||.||Y, наз. равномерно ограниченным, если существует такая постоянная с> 0, что для всех [img: http://localhost:8080/file/041801-77.jpg] и всех [img: http://localhost:8080/file/041801-78.jpg] выполняется неравенство ||fa (x)||Y [img: http://localhost:8080/file/041801-79.jpg] с. Если в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041801-80.jpg] ограниченных отображений [img: http://localhost:8080/file/041801-81.jpg] ввести полунорму (норму) по формуле [img: http://localhost:8080/file/041801-82.jpg] то Р. о. множества функций [img: http://localhost:8080/file/041801-83.jpg], означает ограниченность этого множества в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041801-84.jpg] с полунормой [img: http://localhost:8080/file/041801-85.jpg]. Понятие Р. о. снизу и сверху обобщается на случай отображений [img: http://localhost:8080/file/041801-86.jpg] в упорядоченные в том или ином смысле множества Y. Л. Д. Кудрявцев.