Равномерная подгруппа

локально компактной топологической группы G - такая замкнутая подгруппа [img: http://localhost:8080/file/041801-87.jpg], что фактор-пространство G/H компактно. С понятием Р. п. близко связано понятие квазиравномерной подгруппы в G, т. е. такой замкнутой подгруппы H в G, для к-рой на G/H существует G-инвариантная мера [img: http://localhost:8080/file/041801-88.jpg] Напр., подгруппа SL2(Z).группы SL2(R).квазиравномерна, но не равномерна в ней. С другой стороны, подгруппа Твсех верхнетреугольных матриц из SL2(R) - Р. п. в SL2(R), не являющаяся квазиравномерной (на факторпространстве SL2(R)/T нет SL2 (R)-инвариантных мер). Однако всякая связная квазиравномерная подгруппа в группе Ли Gявляется Р. п. (см. [1]), а всякая дискретная Р. п. в G квазиравномерна [2]. (О дискретных Р. п. в группах Ли см. Дискретная подгруппа.). Если G - связная группа Ли и Н - Р. п. в G, то нормализатор NG(H0).в G связной компоненты единицы Н 0 группы Нсодержит максимальную связную треугольную подгруппу группы G (см. [3]). Алгебраич. подгруппа Нсвязной алгебраической комплексной линейной группы Ли G тогда и только тогда является Р. п., когда Н - параболич. подгруппа в G. Описаны все связные Р. п. в полупростых группах Ли (см. [4]). Недискретная Р. п. Нсвязной полупростой группы Ли G обладает свойством сильной жесткости (см. [5]), к-рое состоит в том, что в Gимеется конечное число таких подгрупп Hi, i= 1,..., т, что любая подгруппа [img: http://localhost:8080/file/041801-89.jpg], изоморфная Н, сопряжена одной из подгрупп Hi. Важные примеры равномерных и квазиравномерных подгрупп строятся следующим образом. Пусть G - линейная алгебраич. группа, определенная над полем рациональных чисел Q, GA- ее группа аделей и [img: http://localhost:8080/file/041801-90.jpg] - подгруппа главных аделей. Тогда GQ --'дискретная подгруппа в GA, причем GQ является Р. п. в GA тогда и только тогда, когда 1) У группы G нет нетривиальных рациональных характеров, определенных над полем Q, и 2) все унипотентные элементы группы GQ принадлежат ее радикалу (см. [6], [7]). В частности, если G - унипотентная алгебраич. группа, определенная над Q, то GQ есть Р. п. в GA. Условие 1) является необходимым и достаточным для квазиравномерности GQ в GA.