Равномерная сходимость

последовательности функций (отображений) - свойство последовательности [img: http://localhost:8080/file/041801-91.jpg], где X- произвольное множество, Y - метрич. пространство, n=1,2,..., к функции (отображению) [img: http://localhost:8080/file/041801-92.jpg], означающее, что для любого e>0 существует такой номер п e, что для всех номеров п>ne и всех точек [img: http://localhost:8080/file/041801-93.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/041801-94.jpg] Это условие равносильно тому, что [img: http://localhost:8080/file/041801-95.jpg] Чтобы последовательность {fn} равномерно сходилась на множестве Xк функции f, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая числовая последовательность {an}, что [img: http://localhost:8080/file/041801-96.jpg] и существовал такой номер n0, что для всех n>n0 и всех [img: http://localhost:8080/file/041801-97.jpg] выполнялось неравенство [img: http://localhost:8080/file/041801-98.jpg] Пример. Последовательность fn(x)=xn, п=1,2,..., равномерно сходится на любом отрезке [0, а], 0<а<1 и не сходится равномерно на отрезке [0, 1]. Необходимое и достаточное условие Р. с. последовательности функций без использования понятия предельной функции дает Ноши критерий равномерной сходимости. Свойства равномерно сходящихся последовательностей. 1. Если Y - линейное нормированное пространство и последовательности отображений [img: http://localhost:8080/file/041801-99.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041801-100.jpg], n=1, 2,..., равномерно сходятся на множестве X, то при любых [img: http://localhost:8080/file/041801-101.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041801-102.jpg] последовательность {lfn+mgn} также равномерно сходится на X. 2. Если Y - линейное нормированное кольцо, последовательность отображений [img: http://localhost:8080/file/041801-103.jpg], 2,..., равномерно сходится на множестве Xи g: X [img: http://localhost:8080/file/041801-104.jpg] Y - ограниченное отображение, то последовательность {gfn} также равномерно сходится на X. 3. Если X - топологич. пространство, Y - метрич. пространство и последовательность непрерывных в точке [img: http://localhost:8080/file/041801-105.jpg] отображений [img: http://localhost:8080/file/041801-106.jpg] равномерно на множестве Xсходится к отображению [img: http://localhost:8080/file/041801-107.jpg], то это отображение также непрерывно в точке x0, то есть [img: http://localhost:8080/file/041801-108.jpg] Условие равномерной сходимости последовательности {fn} на Xявляется в этом утверждении существенным в том смысле, что существуют даже последовательности числовых непрерывных на отрезке функций, сходящиеся во всех его точках к функции, не являющейся непрерывной на рассматриваемом отрезке. Примером такой последовательности является fn(x)=xn, n=1,2,..., на отрезке [0, 1]. Р. с. последовательности непрерывных функций не есть необходимое условие непрерывности предельной функции. Однако если множество X- компакт, Y- множество действительных чисел [img: http://localhost:8080/file/041801-109.jpg], последовательность непрерывных функций [img: http://localhost:8080/file/041801-110.jpg] во всех точках [img: http://localhost:8080/file/041801-111.jpg] одновременно возрастает или убывает и имеет конечный предел, [img: http://localhost:8080/file/041801-112.jpg] то для того, чтобы функция f была непрерывной на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {fn} сходилась равномерно на этом множестве. Необходимые и одновременно достаточные условия для непрерывности предела последовательности непрерывных функций в общем случае даются в терминах квазиравномерной сходимости последовательности. 4. Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций [img: http://localhost:8080/file/041801-113.jpg], n=1,2,..., равномерно на отрезке [ а, b], сходится к функции [img: http://localhost:8080/file/041801-114.jpg], то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого [img: http://localhost:8080/file/041801-115.jpg] имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/041801-116.jpg] (*) и сходимость последовательности [img: http://localhost:8080/file/041801-117.jpg] на отрезке [ а, b]к функции [img: http://localhost:8080/file/041801-118.jpg] равномерна. Формула (*) обобщается на случай Стилтьеса интеграла. Если же последовательность интегрируемых на отрезке [ а, b]функций fn, п=1, 2,..., просто сходится в каждой точке этого отрезка к интегрируемой же на нем функции f, то формула (*) может не иметь места. 5. Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [ а, b]функций [img: http://localhost:8080/file/041801-119.jpg], п=1, 2,..., сходится в нек-рой точке [img: http://localhost:8080/file/041801-120.jpg], а последовательность их производных [img: http://localhost:8080/file/041801-121.jpg] равномерно сходится на [ а, b], то последовательность {fn} также равномерно сходится на отрезке [ а, b], ее предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией и [img: http://localhost:8080/file/041801-122.jpg] Пусть X - произвольное множество, а Y - метрич. пространство. Семейство функций (отображений) fa:Х [img: http://localhost:8080/file/041801-123.jpg] Y, [img: http://localhost:8080/file/041801-124.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041801-125.jpg] - топологич. пространство, наз. равномерно сходящимся при [img: http://localhost:8080/file/041801-126.jpg] к функции (отображению) [img: http://localhost:8080/file/041801-127.jpg], если для любого e>0 существует такая окрестность U(a0) точки a0, что для всех [img: http://localhost:8080/file/041801-128.jpg] и всех [img: http://localhost:8080/file/041801-129.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/041801-130.jpg] Для равномерно сходящихся семейств функций имеют место свойства, аналогичные указанным выше свойствам Р. с. последовательностей функций. Понятие Р. с. отображений обобщается на случай, когда Y - равномерное пространство, в частности, когда Y - топологич. группа.