Равномерная устойчивость

устойчивость по Ляпунову, равномерная относительно начального момента. Решение [img: http://localhost:8080/file/041801-133.jpg], системы дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/041801-134.jpg] наз. равномерно устойчивым, если для всякого e>0 найдется d>0 такое, что для всякого [img: http://localhost:8080/file/041801-135.jpg] и всякого решения х(t).той же системы, удовлетворяющих неравенству [img: http://localhost:8080/file/041801-136.jpg] выполнено неравенство [img: http://localhost:8080/file/041801-137.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041801-138.jpg] Устойчивая по Ляпунову неподвижная точка автономной системы дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/041801-139.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041801-140.jpg], равномерно устойчива, по устойчивое по Ляпунову решение, вообще говоря, может не быть равномерно устойчивым. Напр., решение [img: http://localhost:8080/file/041801-141.jpg], уравнения [img: http://localhost:8080/file/041801-142.jpg] (1) при каждом [img: http://localhost:8080/file/041801-143.jpg] устойчиво, но не равномерно устойчиво. Пусть дана линейная система дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/041801-144.jpg] (2) где А(.) - суммируемое на каждом отрезке отображение [img: http://localhost:8080/file/041801-145.jpg]. Для того чтобы решение x=0 системы (2) было равномерно устойчивым, необходимо, чтобы верхний особый показатель W0 (А).системы (2) был меньше или равен нулю. Напр., случае уравнения (1) верхний особый показатель W0(A)=1-a, а Ляпунова характеристический показатель [img: http://localhost:8080/file/041801-146.jpg]. Для существования d>0 такого, чтобы решение x=0 всякой системы [img: http://localhost:8080/file/041801-147.jpg] удовлетворяющей условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши и условию |g(t,x)|<d.|x|, было равномерно устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы верхний особый показатель W0(A). системы (2) был меньше нуля.