Равномерное распределение

общее название Класса распределений вероятностей, возникающего при распространении идеи "равновозможности исходов" на непрерывный случай. Подобно нормальному распределению Р. р. появляется в теории вероятностей как точное распределение в одних задачах и как предельное - в других. Р. р. на отрезке числовой прямой (прямоугольное распределение). Р. р. на каком-либо отрезке [ а, b], а<b, - это распределений вероятностей, имеющее плотность [img: http://localhost:8080/file/041802-150.jpg] Понятие Р. р. на [ а, b] соответствует представлению о случайном выборе точки на этом отрезке "наудачу". Математич. ожидание и дисперсия Р. р. равны, соответственно, (b+a)/2 и (b-а)2/12. Функция распределения задается формулой [img: http://localhost:8080/file/041802-151.jpg] а характеристич. функция - формулой [img: http://localhost:8080/file/041802-152.jpg] Случайную величину с Р. р. на [0,1] можно построить, исходя из последовательности независимых случайных величин Х 1, Х 2,..., принимающих значения 0 и 1 с вероятностями 1/2 полагая [img: http://localhost:8080/file/041802-153.jpg] (Х n являются цифрами в двоичном разложении X). Случайное число Xимеет Р. р. на отрезке [0,1]. Этот факт имеет важные статистич. приложения, см., напр., Случайные и псевдослучайные числа. Если независимые случайные величины Х 1 и Х 2 имеют Р. р. на [0,1], то их сумма Х 1+Х 2 имеет так наз. треугольное распределение на [0,2] с плотностью u2 (х)=1 -|1-х | для [img: http://localhost:8080/file/041802-154.jpg] и u2(x)=0 для [img: http://localhost:8080/file/041802-155.jpg]. Сумма трех независимых случайных величин с Р. р. на [0,1] имеет распределение на [0,3] с плотностью [img: http://localhost:8080/file/041802-156.jpg] В общем случае сумма X1+X2+... +Х n независимых величин с Р. р. на [0,1] распределена с плотностью [img: http://localhost:8080/file/041802-157.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/041802-158.jpg] и и п (х)=0 для [img: http://localhost:8080/file/041802-159.jpg]; здесь [img: http://localhost:8080/file/041802-160.jpg] Распределение суммы [img: http://localhost:8080/file/041860-1.jpg] нормированной математич. ожиданием n/2 и среднеквадратич. отклонением [img: http://localhost:8080/file/041860-2.jpg], с ростом пбыстро сближается с нормальным распределением с параметрами 0 и 1 (уже при n=3 приближение удовлетворительно для многих практич. целей). В статистич. приложениях процедура построения случайной величины с заданной функцией распределения F(х).основана на следующем факте. Пусть случайная величина Yраспределена равномерно на [0,1] и функция распределения F(х).непрерывна и строго возрастает. Тогда случайная величина [img: http://localhost:8080/file/041860-3.jpg] имеет функцию распределения F(х).(в общем случае надо заменить в определении Xфункцию F-1 (у).на нек-рый ее аналог, а именно [img: http://localhost:8080/file/041860-4.jpg]). P.p. на отрезке как предельное распределение. Ниже приводятся типичные примеры возникновения Р. р. на [0,1] в качестве предельного. 1) Пусть X1, X2,..., Х n,... - независимые случайные величины, имеющие одну и ту же непрерывную функцию распределения. Тогда распределение их суммы Sn, приведенной по mod 1, т. е., иными словами, распределение дробной части {Sn} суммы Sn, сходится к равномерному на [0, 1] распределению. 2) Пусть параметры [img: http://localhost:8080/file/041860-5.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041860-6.jpg] имеют абсолютно непрерывное совместное распределение; тогда при [img: http://localhost:8080/file/041860-7.jpg] распределение [img: http://localhost:8080/file/041860-8.jpg] сходится к равномерному на [0,1]. 3) Р. р. встречается как предельное распределение дробных долей нек-рых функций g(n) натурального аргумента п. Напр., при иррациональном a. доля тех [img: http://localhost:8080/file/041860-9.jpg], из пдля к-рых [img: http://localhost:8080/file/041860-10.jpg] имеет пределом при [img: http://localhost:8080/file/041860-11.jpg] величину b-а. Р. р. на под множествах [img: http://localhost:8080/file/041860-12.jpg]. Пример Р. р. в прямоугольнике встречается уже в Бюффона задаче (см. также Геометрические вероятности, Стохастическая геометрия]. Р. р. на нек-ром ограниченном множестве Dв евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041860-13.jpg] определяется как распределение, имеющее плотность [img: http://localhost:8080/file/041860-14.jpg] где Собратна k-мерному объему (или лебеговой мере) области D. Рассматривают также и Р. р. на поверхностях. Так, "случайное направление" (напр., в [img: http://localhost:8080/file/041860-15.jpg]) определяют вектором, идущим из начала координат в случайную точку поверхиости единичной сферы, равномерно распределенную в том смысле, что вероятность ее попадания в какую-либо часть поверхности пропорциональна площади этой части. Роль Р. р. на алгебраич. группах играет нормированная Хаара мера.