Разложение единицы

- однопараметрическое семейство [img: http://localhost:8080/file/041861-102.jpg], проекционных операторов, действующих в гильбертовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041861-103.jpg], такое, что 1) [img: http://localhost:8080/file/041861-104.jpg], если l<m; 2) Е l сильно непрерывно слева, т. е. Е l-0 -Еl для любого [img: http://localhost:8080/file/041861-105.jpg]; 3) [img: http://localhost:8080/file/041861-106.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041861-107.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041861-108.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041861-109.jpg], здесь О и Е - нулевой и единичный операторы в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041861-110.jpg]. Условие 2} можно заменить на условие непрерывности справа в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/041861-111.jpg] Всякий самосопряженный оператор А, действующий в [img: http://localhost:8080/file/041861-112.jpg], порождает соответствующее ему вполне определенное Р. е. При этом кроме условий 1)-3) выполняются еще условия: 4) если В - ограниченный оператор такой, что ВА=АВ, то ВЕl=Еl В для любого А; 5) если А- ограниченный оператор, т, М - его нижняя и верхняя грани соответственно, то [img: http://localhost:8080/file/041861-113.jpg] и Е l=Е при [img: http://localhost:8080/file/041861-114.jpg] Р. е., порожденное оператором А, полностью определяет спектральные свойства этого оператора, а именно: (а) точка Кесть регулярная точка оператора Атогда и только тогда, когда она является точкой постоянства, т. е. когда существует d>0 такое, что [img: http://localhost:8080/file/041861-115.jpg] для (Р) [img: http://localhost:8080/file/041861-116.jpg] точка l0 есть собственное значение оператора Атогда и только тогда, когда в этой точке Е l имеет скачок, т. е. [img: http://localhost:8080/file/041861-117.jpg]; (у) если [img: http://localhost:8080/file/041861-118.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041861-119.jpg] есть инвариантное подпространство оператора А. Поэтому Р. е., порожденное оператором А, наз. также спектральной функцией этого оператора. Обратно, каждое Р. е. {Е l} однозначно определяет самосопряженный оператор A, для к-рого это Р. е. является спектральной функцией. Область определения D(А).оператора Асостоит из тех и только тех [img: http://localhost:8080/file/041861-120.jpg], для к-рых [img: http://localhost:8080/file/041861-121.jpg] и имеет место представление оператора Ав виде операторного интеграла Стилтьеса [img: http://localhost:8080/file/041861-122.jpg]