Разложимая группа

над полем k, расщепи мая группа над k, k-pазложимая группа,- линейная алгебраич. группа, определенная над kи содержащая разложимую над k Бореля подгруппу;. при этом связная разрешимая линейная алгебраич. группа Вназ. разложимой над А, если она определена над kи обладает таким композиционным рядом [img: http://localhost:8080/file/041861-123.jpg], что все В i - связные, определенные над kалгебраич. подгруппы, а каждая из факторгрупп [img: http://localhost:8080/file/041861-124.jpg] изоморфна над kлибо одномерному тору Gm=GL1. либо аддитивной одномерной группе Ga. В частности, алгебраический тор тогда и только тогда разложим над k, когда он определен над k и изоморфен над kпрямому произведению нескольких экземпляров группы Gm. Для связных разрешимых k-разложимых групп справедлива Бореля теорема о неподвижной точке. Определенная над kредуктивная линейная алгебраич. группа тогда и только тогда разложима над k, когда она обладает разложимым над kмаксимальным тором, т. е. когда ее k-ранг совпадает с ее рангом (см. Ранг алгебраической группы). Образ k-разложимой группы при любом определенном над kрациональном гомоморфизме является k-разложимой группой. Всякая определенная над kлинейная алгебраич. группа Gразложима над алгебраич. замыканием поля k;если, кроме того, группа Gредуктивна или разрешима и связна, то она разложима над нек-рым конечным расширением поля k. Если поле kсовершенно, то связная разрешимая определенная над kлинейная алгебраич. группа тогда и только тогда разложима над k, когда она приводится над kк треугольному виду. Если char k=0, то определенная над kлинейная алгебраич. группа тогда и только тогда разложима над k, когда ее алгебра Ли L является разложимой (или расщепляемой) над kалгеброй Ли; последнее, по определению, означает, что алгебра Ли Lобладает расщепляющей подалгеброй. К а р т а н а, т. е. такой Картана подалгеброй [img: http://localhost:8080/file/041861-125.jpg], что все собственные значения каждого оператора adLh, [img: http://localhost:8080/file/041861-126.jpg], принадлежат полю k. Если [img: http://localhost:8080/file/041861-127.jpg] - вещественная группа Ли, совпадающая с группой вещественных точек полупростой [img: http://localhost:8080/file/041861-128.jpg] -разложимой алгебраич. группы G, a [img: http://localhost:8080/file/041861-129.jpg] - комплексификация группы Ли [img: http://localhost:8080/file/041861-130.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041861-131.jpg] наз. нормальной вещественной формой комплексной группы Ли [img: http://localhost:8080/file/041861-132.jpg] Существуют квазиразложимые группы над полем k, не являющиеся Р. г. над k;примером при [img: http://localhost:8080/file/041861-133.jpg] может служить группа SO(3,1).