Разностное множество

совершенное разностное множество,- множество D, состоящее из kвычетов [img: http://localhost:8080/file/041863-141.jpg] но модулю некрого натурального числа [img: http://localhost:8080/file/041863-142.jpg], причем для каждого [img: http://localhost:8080/file/041863-143.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041863-144.jpg], существует точно l упорядоченных пар (di, dj).элементов из Dтаких, что [img: http://localhost:8080/file/041863-145.jpg] числа [img: http://localhost:8080/file/041863-146.jpg] наз. п а р а м е т р а м и Р. м. Напр., множество D = {1, 3, 4, 5, 9} вычетов по модулю 11 есть Р. м. с l= 2. Р. м. тесно связаны с блок-схемами, аименно: существование Р. м. равносильно существованию симметричной блок-схемы с параметрами [img: http://localhost:8080/file/041863-147.jpg], обладающей циклич. группой автоморфизмов порядка [img: http://localhost:8080/file/041863-148.jpg] (блоки такой схемы суть множества [img: http://localhost:8080/file/041863-149.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041863-150.jpg]). Идея Р. м. обобщается следующим образом: множество D, состоящее из kразличных элементов d1,..., [img: http://localhost:8080/file/041863-151.jpg] группы G порядка [img: http://localhost:8080/file/041863-152.jpg], наз. [img: http://localhost:8080/file/041863-153.jpg] -разностным множеством в G, если для любого [img: http://localhost:8080/file/041863-154.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041863-155.jpg], существует в точности l упорядоченных пар (di, dj), [img: http://localhost:8080/file/041863-156.jpg], таких, что [img: http://localhost:8080/file/041863-157.jpg] (или, что то же, l. пар (di, dj) с d-1i dj=a). Тогда определенное выше Р. м. наз. ц и к л и ч е с к и м Р. м. (т. к. группа классов вычетов по mod [img: http://localhost:8080/file/041863-158.jpg] есть циклич. группа). Существование [img: http://localhost:8080/file/041863-159.jpg] -разностных множеств в группе Gпорядка [img: http://localhost:8080/file/041863-160.jpg] равносильно существованию симметричной блок-схемы с параметрами [img: http://localhost:8080/file/041863-161.jpg], допускающей G в качестве регулярной (т. е. без неподвижных элементов) группы автоморфизмов (эта схема получается отождествлением элементов блок-схемы с элементами группы и блоков - с множествами [img: http://localhost:8080/file/041863-162.jpg], где gпробегает G). Основным в теории Р. м. является вопрос о существовании и построении Р. м. с заданными параметрами. При его изучении оказывается полезным понятие множителя Р. м.: автоморфизм группы G наз. множителем [img: http://localhost:8080/file/041863-163.jpg] -разностного множества Dв G, если он является также автоморфизмом блок-схемы, определяемой Р. м. D. Для циклического Р. м. множитель - это число t, взаимно простое с [img: http://localhost:8080/file/041863-164.jpg] и с тем свойством, что [img: http://localhost:8080/file/041863-165.jpg] для нек-рого i, [img: http://localhost:8080/file/041863-166.jpg]. Множители циклического Р. м. образуют группу. Справедливо утверждение: если D - циклическое [img: http://localhost:8080/file/041863-167.jpg] -разностное множество и если р - простое число, делящее k-l и такое, что [img: http://localhost:8080/file/041863-168.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041863-169.jpg], то р-множитель D(т е о р е м а о м н о ж и т е л е Р. м.). При построении Р. м. полезен следующий результат: для любого множителя [img: http://localhost:8080/file/041863-170.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041863-171.jpg] -разностного множества Dв абелевой группе Gпорядка [img: http://localhost:8080/file/041863-172.jpg] в блок-схеме, определяемой D, существует блок, фиксируемый этим множителем; при [img: http://localhost:8080/file/041863-173.jpg] существует блок, фиксируемый любым множителем. Р. м. обычно строятся прямыми методами с использованием свойств конечных полей, полей деления круга (см. Круговое поле), а также конечных геометрий. Известно несколько бесконечных семейств Р. м., напр. следующие типы Sи Q. Тип S (р а з н о с т н ы е м н о ж е ст в а З и нг е р а): это - гиперплоскости в n-мерной проективной геометрии над полем из [img: http://localhost:8080/file/041863-174.jpg] элементов; параметры: [img: http://localhost:8080/file/041863-175.jpg] тип Q:квадратичные вычеты в поле [img: http://localhost:8080/file/041863-176.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041863-177.jpg] (р - простое число); параметры: [img: http://localhost:8080/file/041863-178.jpg] Другие бесконечные семейства Р. м. см. р [1]-[3]. Наряду с Р. м. часто рассматриваются обобщенные P.M., или р а з н о с т н ы е с е м е й с т в а,- это множества D1,..., Dr, состоящие из. вычетов по [img: http://localhost:8080/file/041863-179.jpg] и такие, что для любого [img: http://localhost:8080/file/041863-180.jpg] существует точно l упорядоченных пар [img: http://localhost:8080/file/041863-181.jpg], c [img: http://localhost:8080/file/041863-182.jpg] для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/041863-183.jpg] Имеются также другие обобщения Р. м.