Разностное уравнение

- уравнение, содержащее конечные разности искомой функции. [img: http://localhost:8080/file/041863-184.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041863-185.jpg] - [img: http://localhost:8080/file/041863-186.jpg] функция целочисленного аргумента [img: http://localhost:8080/file/041863-187.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041863-188.jpg] - конечные разности. Выражение [img: http://localhost:8080/file/041863-189.jpg] содержит значения функции [img: http://localhost:8080/file/041863-190.jpg] в (m+1)-й точке п, n+1,..., п+т. Справедлива формула [img: http://localhost:8080/file/041863-191.jpg] (1) Р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м наз. уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/041863-192.jpg] (2) где [img: http://localhost:8080/file/041863-193.jpg] - искомая и F - заданная функции. Замена в (2) конечных разностей их выражениями через значения искомой функции согласно (1) приводит к уравнению вида [img: http://localhost:8080/file/041863-194.jpg] (3) Если [img: http://localhost:8080/file/041864-1.jpg], т. е. уравнение (3) действительно содержит как [img: http://localhost:8080/file/041864-2.jpg], так и [img: http://localhost:8080/file/041864-3.jpg], то уравне-вие (3) наз. р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м m-го п о р я д к а, или д и ф ф е р е н ц и а л ь н о-р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м. Наиболее развита теория линейных Р. у., к-рая имеет много общего с теорией обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (см. [1] - [3]). Линейным Р. у. m-го порядка наз. уравнение [img: http://localhost:8080/file/041864-4.jpg] (4) где [img: http://localhost:8080/file/041864-5.jpg] - заданная функция, [img: http://localhost:8080/file/041864-6.jpg], k=0, 1,..., m, - заданные коэффициенты, причем [img: http://localhost:8080/file/041864-7.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041864-8.jpg]. Решением Р. у. (4) наз. всякая функция [img: http://localhost:8080/file/041864-9.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041864-10.jpg], удовлетворяющая уравнению (4). Как и в случае дифференциальных уравнений, различают частное и общее решения Р. у. (4). О б щ и м р е ш е н и е м Р. у. (4) наз. его решение, зависящее от тпроизвольных параметров и такое, что каждое частное решение может быть получено из этого общего решения при нек-ром значении параметров. Обычно конкретные значения параметров находятся из дополнительных условий. Типичной является задача Коши: по заданным [img: http://localhost:8080/file/041864-11.jpg], fn найти решение [img: http://localhost:8080/file/041864-12.jpg] уравнения (4) при п=т, m+l,... Существование и способ построения решения Р. у. (4) устанавливаются по следующей схеме. Наряду с (4) рассматривается однородное Р. у. [img: http://localhost:8080/file/041864-13.jpg] (5) Справедливы следующие утверждения. 1) Пусть [img: http://localhost:8080/file/041864-14.jpg] - решения уравнения (5) и [img: http://localhost:8080/file/041864-15.jpg] - произвольный набор постоянных. Тогда функция [img: http://localhost:8080/file/041864-16.jpg] также является решением уравнения (5). 2) Если [img: http://localhost:8080/file/041864-17.jpg] суть трешений уравнения (5) и определитель [img: http://localhost:8080/file/041864-18.jpg] отличен от нуля, то общее решение однородного Р. у. (5) имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041864-19.jpg] (6) где [img: http://localhost:8080/file/041864-20.jpg] - произвольные постоянные. 3) Общее решение неоднородного Р. у. (4) представляется в виде суммы какого-либо частного его решения и общего решения однородного Р. у. (5). Частное решение неоднородного уравнения (5) можно построить, исходя из общего решения (6) однородного уравнения, путем применения метода вариации произвольных постоянных (см., напр., [2]). В случае Р. у. с постоянными коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/041864-21.jpg] (7) можно непосредственно найти тлинейно независимых частных решений. Для этого рассматривается харак-теристич. уравнение [img: http://localhost:8080/file/041864-22.jpg] (8) и ищутся его корни [img: http://localhost:8080/file/041864-23.jpg]. Если все корни простые, то функции [img: http://localhost:8080/file/041864-24.jpg] образуют линейно независимую систему решений уравнения (7). В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/041864-25.jpg] - корень кратности r, линейно независимыми являются решения [img: http://localhost:8080/file/041864-26.jpg] Если коэффициенты а 0, a1,..., а т действительные и уравнение (8) имеет комплексный корень, напр. простой корень [img: http://localhost:8080/file/041864-27.jpg], то вместо комплексных решений [img: http://localhost:8080/file/041864-28.jpg] выделяют два линейно независимых действительных решения [img: http://localhost:8080/file/041864-29.jpg] Пусть имеется Р. у. 2-го порядка с постоянными действительными коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/041864-30.jpg] (9) Характеристич. уравнение [img: http://localhost:8080/file/041864-31.jpg] имеет корни [img: http://localhost:8080/file/041864-32.jpg] Общее решение уравнения (9) в случае [img: http://localhost:8080/file/041864-33.jpg] удобно записывать в виде [img: http://localhost:8080/file/041864-34.jpg] (10) где с 1 и с 2 - произвольные постоянные. Если [img: http://localhost:8080/file/041864-35.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041864-36.jpg] - комплексно сопряженные корни: [img: http://localhost:8080/file/041864-37.jpg] то другое представление общего решения имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041864-38.jpg] (11) В случае кратного корня общее решение может быть получено предельным переходом из (10) или (11). Оно имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041864-39.jpg] Как и в случае уравнений произвольного порядка, для Р. у. 2-го порядка можно рассматривать задачу Коши или различные краевые задачи. Напр., для задачи Коши [img: http://localhost:8080/file/041864-40.jpg] (12) где х - любое действительное число, решением (12) является многочлен Тn (х).степени п(м н о г о ч л е н Ч е б ы ш е в а 1-г о р о д а), к-рый определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/041864-41.jpg] Краевая задача Р. у. 2-го порядка состоит в нахождении функции [img: http://localhost:8080/file/041864-42.jpg], удовлетворяющей при n=1, 2,..., N-1 уравнению [img: http://localhost:8080/file/041864-43.jpg] (13) и двум линейно независимым краевым условиям. Такими краевыми условиями могут быть, напр., условия [img: http://localhost:8080/file/041864-44.jpg] (14) или условия [img: http://localhost:8080/file/041864-45.jpg] (15) Для Р. у. 2-го порядка справедлив следующий принцип максимума. Пусть дана задача (13), (15) и пусть выполнены условия [img: http://localhost:8080/file/041864-46.jpg] Тогда если [img: http://localhost:8080/file/041864-47.jpg], n=1, 2,..., N-1, то [img: http://localhost:8080/file/041864-48.jpg] но может принимать наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения при n=1, 2,..., N-1. Из принципа максимума следует однозначная разрешимость краевой задачи (13), (15) и устойчивость ее решения относительно изменения граничных условий m1, m2 и правых частей fn. Для решения разностных краевых задач (13), (14) применяется прогонки метод (см.[2]). Построить в явном виде решения нелинейных Р. у. [img: http://localhost:8080/file/041864-49.jpg] (16) удается лишь в отдельных очень частных случаях. Для уравнений вида (16) изучаются в основном качественные вопросы поведения решений при [img: http://localhost:8080/file/041864-50.jpg] и развита теория устойчивости, аналогичная теории устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [4], [5]). При разностной аппроксимации уравнений с частными производными возникают многомерные Р. у. (см. [2], [6]). Напр., уравнение Пуассона [img: http://localhost:8080/file/041864-51.jpg] можно аппроксимировать Р. у. [img: http://localhost:8080/file/041864-52.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041864-53.jpg] h1, h2 - шаги сетки. Система многомерных Р. у. в совокупности с дополнительными начальными и граничными условиями образует разностную схему. В связи с многомерными Р. у. изучаются такие вопросы, как корректность разностных задач, методы их решения, сходимость при измельчении сетки к решениям исходных дифференциальных уравнений (см. Разностных схем теория). Хотя существуют различные математические и технич. модели, приводящие к Р. у. (см., напр., [4], [5]), основной областью их применения являются приближенные методы решения дифференциальных уравнений (см. [6], [9]).