Разностный оператор

оператор, действующий в пространстве сеточных функций. Р. о. возникают при аппроксимации дифференциальной задачи разностной и являются предметом изучения разностных схем теории. Разностную схему можно рассматривать как операторное уравнение с операторами, действующими в нек-ром функциональном пространстве, а именно в пространстве сеточных функций. Под пространством сеточных функций понимается множество функций, определенных в точках заданной сетки и образующих конечномерное векторное пространство. Пространства сеточных функций обычно возникают при аппроксимации того или иного пространства функций непрерывного аргумента. П р и м е р 1. Пусть С[0, 1] - пространство непрерывных функций, заданных на отрезке [img: http://localhost:8080/file/041864-54.jpg] с нормой [img: http://localhost:8080/file/041864-55.jpg] Вводится сетка [img: http://localhost:8080/file/041864-56.jpg] и рассматривается множество С h, [0, 1] функций [img: http://localhost:8080/file/041864-57.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041864-58.jpg], заданных на сетке wh. Множество С h[0, 1] образует (N+1)-мерное векторное пространство относительно покоординатного сложения и умножения на число. Норма в Ch[0, 1] [img: http://localhost:8080/file/041864-59.jpg] согласована с нормой в С[0, 1] в том смысле, что для любой функции [img: http://localhost:8080/file/041864-60.jpg] определен вектор [img: http://localhost:8080/file/041864-61.jpg] и существует [img: http://localhost:8080/file/041864-62.jpg] Любой линейный Р. о. [img: http://localhost:8080/file/041864-63.jpg] как оператор, действующий в конечномерном пространстве, может быть представлен матрицей. Характерными свойствами матриц, порождаемых разностными операторами, являются их большой размер и относительно большое число нулевых элементов. В общем случае конструкция пространств сеточных функций и Р. о. может быть весьма сложной. Наиболее изучены свойства Р. о., действующих в пространствах с гильбертовой метрикой. В этом случае наибольший интерес представляют такие свойства Р. о., как самосопряженность и положительность. В основе математич. аппарата, позволяющего исследовать свойства Р. о., лежат разностные аналоги формул дифференцирования произведения и интегрирования по частям. П р и м е р 2. Пусть задано множество действительных функций на сетке wh. Вводятся обозначения: [img: http://localhost:8080/file/041864-64.jpg] Справедливы следующие формулы: [img: http://localhost:8080/file/041864-65.jpg] Имеет место также формула суммирования по частям [img: http://localhost:8080/file/041864-66.jpg] Из последней формулы следует, в частности, самосопряженность и положительность оператора второй разностной производной [img: http://localhost:8080/file/041864-67.jpg] на множестве функций, заданных на сетке wh и обращающихся в нуль на границе i=0, i=N. Многочисленные исследования посвящены изучению свойств разностных аппроксимаций дифференциальных операторов эллиптич. типа (см. [1]-[4]). Для построения соответствующих Р. о. используются такие эффективные методы, как метод баланса, конечных элементов, вариационные и проекционные методы. Найденные разностные аппроксимации хорошо моделируют основные свойства исходных операторов, такие, напр., как эллиптичность, выполнение принципа максимума и др. Построены также Р. о., аппроксимирующие эллиптические дифференциальные операторы в областях сложной формы при различных типах краевых условий и в случае нерегулярных сеток (см. [5]). Свойства стационарных Р. о. используются для изучения устойчивости нестационарных разностных задач и для построения итерационных методов. При этом теория итерационных методов может быть изложена как один из разделов общей теории устойчивости разностных схем (см. [6], [7]). В связи с построением экономичных разностных схем для многомерных задач математич. физики исследованы факторизованные Р. о., то есть многомерные Р. о., представимые в виде произведения одномерных Р. о. (см. [1]). Изучались и нелинейные Р. о. (см. [8]).