Разрешение особенностей

д е с и н г у л я р и з а ц и я,- замена особого алгебраич. многообразия на бирационально изоморфное неособое многообразие. Более точно, Р. о. алгебраич. многообразия Xнад основным полем kназ. собственный бирациональный морфизм [img: http://localhost:8080/file/041865-1.jpg] такой, что многообразие [img: http://localhost:8080/file/041865-2.jpg] неособое (гладкое). Аналогично определяется Р. о. схемы, комплексно-аналитического пространства и т. д. Существование Р. о. позволяет сводить многие вопросы к неособым многообразиям, при изучении к-рых можно использовать теорию пересечений и аппарат дифференциальных форм. Обычно Р. о. происходит путем последовательного применения операции моноидалъпого преобразования. Известно, что если центр Dмоноидального преобразования [img: http://localhost:8080/file/041865-3.jpg] допустим (то есть Dнеособо, а X - нормальное плоское многообразие вдоль D), то численные характеристики особенностей многообразия (кратность, функция Гильберта и т. д.) не хуже, чем у X. Проблема состоит в выборе центра раздутия так, чтобы особенности у [img: http://localhost:8080/file/041865-4.jpg] действительно улучшились. В случае кривых проблема Р. о. сводится по существу к нормализации. В двумерном случае ситуация сложнее. Доказано существование Р. о. у любого многообразия над полем k нулевой характеристики. Точнее, для приведенного многообразия Х 0 существует конечная последовательность допустимых моноидальных преобразований [img: http://localhost:8080/file/041865-5.jpg], с центрами [img: http://localhost:8080/file/041865-6.jpg] такая, что Di содержатся в множествах особых точек Xi, а Х r - неособое многообразие. Аналогичный результат верен для комплексно-аналитических пространств. В положительной характеристике существование Р. о. установлено (1983) для размерностей [img: http://localhost:8080/file/041865-7.jpg] С задачей Р. о. тесно связана задача разрешения вложенных особенностей, формулируемая следующим образом. Пусть Xвложено в неособое алгебраич. многообразие Z; существует ли собственное отображение [img: http://localhost:8080/file/041865-8.jpg] с неособым [img: http://localhost:8080/file/041865-9.jpg] такое, что а) f индуцирует изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041865-10.jpg] является дивизором с нормальными пересечениями? (Дивизор на неособом многообразии имеет нормальные пересечения, если локально он задается уравнением [img: http://localhost:8080/file/041865-11.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041865-12.jpg] - часть регулярной системы параметров на Z.) Задача разрешения вложенных особенностей является частным случаем задачи тривиализации пучка идеалов. Пусть Z - неособое многообразие, I - когерентный пучок идеалов на Z,a [img: http://localhost:8080/file/041865-13.jpg] - неособое замкнутое подмногообразие. Слабым прообразом илеала I при раздутии [img: http://localhost:8080/file/041865-14.jpg] с центром в Dназ. пучок идеалов [img: http://localhost:8080/file/041865-15.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/041865-16.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041865-17.jpg], а т - кратность идеала I в общей точке D. Тривиализация пучка идеалов состоит в нахождении последовательности раздутий с неособыми центрами, при к-рых слабый прообраз I становится структурным пучком. Пусть Z0 - неособое многообразие над полем нулевой характеристики, I0 - когерентный пучок идеалов на Z0 и, кроме того, задан нек-рый дивизор Е 0 на Z0 с нормальными пересечениями. Тогда существует последовательность раздутий [img: http://localhost:8080/file/041865-18.jpg], с неособыми центрами [img: http://localhost:8080/file/041865-19.jpg], обладающая следующими свойствами: если определить Ii + 1 как слабый прообраз Ii при раздутии fi, а Е i+1 - как [img: http://localhost:8080/file/041865-20.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041865-21.jpg], а Е r имеет лишь нормальные пересечения (т е о р е м а Х и р о н а к а). Более того, можно считать, что Di лежит в множестве точек максимальной кратности Ii и имеет нормальные пересечения с Е i. В положительной характеристике аналогичный результат известен лишь при [img: http://localhost:8080/file/041865-22.jpg] Другой задачей этого типа является задача исключения точек неопределенности рационального отображения. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041865-23.jpg] - рациональное отображение неособых алгебраич. многообразий. Существует ли последовательность раздутий с неособыми центрами [img: http://localhost:8080/file/041865-24.jpg] такая, что индуцированное отображение [img: http://localhost:8080/file/041865-25.jpg] является морфизмом? Эта задача сводится к задаче существования тривиализации пучка идеалов, и ответ утвердителен, если [img: http://localhost:8080/file/041865-26.jpg] или если [img: http://localhost:8080/file/041865-27.jpg]