Разрывная вариационная задача

- задача вариационного исчисления, в к-рой экстремум функционала достигается на ломаной экстремали. Л о м ан а я э к с т р е м а л ь - кусочно гладкое решение Эйлера уравнения, удовлетворяющее в угловых точках нек-рым дополнительным необходимым условиям. Эти условия принимают конкретный вид в зависимости от типа Р. в. з. Так, в Р. в. з. 1-го рода ломаная экстремаль разыскивается при обычных предположениях относительно непрерывности и непрерывной дифференцируемости подинтегральной функции. Для простейшего функционала [img: http://localhost:8080/file/041865-44.jpg] (1) в угловой точке х 0 ломаной экстремали необходимо выполнение у с л о в и й В е й е р ш т р а с с а - Э р д м а н а [img: http://localhost:8080/file/041865-45.jpg] (2) [img: http://localhost:8080/file/041865-46.jpg] (3) В случае, когда Fзависит от пнеизвестных функций, т. е. [img: http://localhost:8080/file/041865-47.jpg] в (1) есть n-мерный вектор [img: http://localhost:8080/file/041865-48.jpg], условия Вейерштрасса - Эрдмана в угловой точке имеют вид, аналогичный (2), (3): [img: http://localhost:8080/file/041865-49.jpg] (4) [img: http://localhost:8080/file/041865-50.jpg] (5) Для задач на условный экстремум, в к-рых подинтегральная функция зависит от пнеизвестных функций и имеется m дифференциальных ограничений типа равенства (см. Болъца задача), условия Вейерштрасса-Эрдмана формулируются с помощью функции Лагранжа Lи имеют вид (4), (5) с заменой Fна L. В терминах теории оптимального управления необходимые условия в угловой точке ломаной экстремали требуют непрерывности сопряженных переменных и функции Гамильтона в точках разрыва оптимального управления. Как следует из Понтрягина принципа максимума, эти условия автоматически выполняются, если управление вдоль ломаной экстремали определяется из условия максимума функции Гамильтона. В Р. в. з. 2-го рода подинтегральная функция разрывна. Пусть, напр., F(х, у, у').претерпевает разрыв вдоль линии у=j(х).так, что F(х, у, у').соответственно равна F1(х, у, у').и F2(х, у, у').по одну и другую сторону от линии у-j(х). Тогда если оптимальное решение существует, то оно достигается на ломаной экстремали, имеющей угловую точку (x0, j (x0)) и вместо функционала (1) получают функционал [img: http://localhost:8080/file/041865-51.jpg] (6) Вариация функционала (6) сводится к вариации функционалов J1 и J2. на кривых сравнения, имеющих соответственно правый и левый подвижные концы, смещающиеся вдоль линии у=j(х). Для того чтобы ломаная экстремаль доставляла минимум функционалу (6), необходимо, чтобы в угловой точке (х 0, j (х 0)).выполнялось условие [img: http://localhost:8080/file/041865-52.jpg] (7) Для случая, когда Fзависит от пнеизвестных функций y=(y1,..., yn). а поверхность разрыва Fзадана в виде [img: http://localhost:8080/file/041865-53.jpg] (8) необходимые условия в угловой точке ломаной экстремали, находящейся на поверхности (8), принимают вид [img: http://localhost:8080/file/041865-54.jpg] (9) Необходимые условия (7), (9) дают недостающие условия для вычисления произвольных постоянных, определяющих ломаную экстремаль - частное решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям. Действительно, равенства (9) дают пнеобходимых условий, к-рые в совокупности с 2n граничными условиями, n условиями непрерывной стыковки ломаной экстремали в угловой точке и уравнением (8) дают 4n + 1 условий, с помощью к-рых можно определить абсциссу угловой точки х 0 и 4n произвольных постоянных - по 2n для каждой из экстремалей, лежащих по разные стороны от поверхности (8).