Ранговая статистика

- статистика, построенная по вектору рангов. Если R=(R1,..., Rn) - рангов вектор, построенный по случайному вектору наблюдений Х= (Х 1,..., Х п), то любая статистика Т=Т(R), являющаяся функцией от R, наз. р а н г ов о й с т а т и с т и к о й. Классич. пример Р. с. дает коэффициент [img: http://localhost:8080/file/041866-80.jpg] р а н г о в о й к о р р е л яц и и К е н д а л л а между векторами Rи 1 = (1, 1,..., 1), к-рый определяется по формуле [img: http://localhost:8080/file/041866-81.jpg] В классе всех Р. с. особое положение занимают т. [img: http://localhost:8080/file/041866-83.jpg] наз. л и н е й н о й р а н г о в о й с т а т и с т и к о й. Напр., к о э ф ф и ц и е н т r р а н г о в о й к о р р ел я ц и и С п и р м е н а между векторами Rи 1, определяемый по формуле [img: http://localhost:8080/file/041866-84.jpg] является линейной Р. с. Линейные Р. с., как правило, просто устроены в вычислительном отношении и их распределения вероятностей нетрудно находить. Именно поэтому в теории Р. с. играет большую роль понятие проекции Р. с. в семейство линейных Р. с. Если Т - нек-рая Р. с., построенная по случайному вектору X, относительно распределения вероятностей к-рого высказана гипотеза H0, то п р о е к ц и е й [img: http://localhost:8080/file/041866-85.jpg] Р. с. T в семейство линейных Р. с. наз. такую линейную Р. с., что [img: http://localhost:8080/file/041866-86.jpg] минимально при справедливости H0. Как правило, проекция [img: http://localhost:8080/file/041866-87.jpg] достаточно хорошо аппроксимирует Р. с. Т, и разность [img: http://localhost:8080/file/041866-88.jpg] пренебрежимо мала, когда [img: http://localhost:8080/file/041866-89.jpg]. При справедливости гипотезы H0, согласно к-рой компоненты Х 1,..., Х n случайного вектора Xсуть независимые случайные величины, проекция [img: http://localhost:8080/file/041866-90.jpg] Р. с. Топределяется по формуле [img: http://localhost:8080/file/041866-91.jpg] (*) где [img: http://localhost:8080/file/041866-92.jpg] (см. [1]). Существует внутренняя связь между Р. с. [img: http://localhost:8080/file/041866-93.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041866-94.jpg]. Как показано в [1], при справедливости гипотезы H0 проекция [img: http://localhost:8080/file/041866-95.jpg] коэффициента корреляции Кендалла [img: http://localhost:8080/file/041866-96.jpg] в семейство линейных Р. с. с точностью до постоянного множителя совпадает с коэффициентом ранговой корреляции Спирмена [img: http://localhost:8080/file/041866-97.jpg], а именно: [img: http://localhost:8080/file/041866-98.jpg] Из этого равенства следует, что коэффициент корреляции соrr [img: http://localhost:8080/file/041866-99.jpg] между [img: http://localhost:8080/file/041866-100.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041866-101.jpg] равен [img: http://localhost:8080/file/041866-102.jpg] т. е. при больших пР. с. [img: http://localhost:8080/file/041866-103.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041866-104.jpg] асимптотически эквивалентны (см. [2]).