Ранг алгебры ли

минимальная из кратностей собственного значения l= 0 для линейных операторов [img: http://localhost:8080/file/041866-39.jpg] по всем хиз алгебры Ли L. Предполагается, что алгебра Lконечномерна. Элемент х, для к-рого эта кратность минимальна, наз. р е г у л я р н ы м. Множество регулярных элементов алгебры Ли открыто в ней (в топологии Зариского). Р. а. Ли равен размерности любой из ее Картана подалгебр. Ранг rkL ненулевой алгебры Ли Lудовлетворяет неравенствам [img: http://localhost:8080/file/041866-40.jpg] причем равенство rkL=dimL имеет место тогда и только тогда, когда Lнильпотентна. Для полупростых алгебр Ли над полем kранг совпадает со степенью трансцендентности над kподполя поля рациональных функций на L, порожденного всеми коэффициентами характеристич. многочлена эндоморфизма [img: http://localhost:8080/file/041866-41.jpg] Р. а. Ли [img: http://localhost:8080/file/041866-42.jpg], где R - радикал в L, наз. п о л у п р о с т ы м р а н г о м а л г е б р ы I. П р и м е р ы. Пусть L - одна из следующих алгебр Ли: 1) алгебра [img: http://localhost:8080/file/041866-43.jpg] всех квадратных матриц порядка пс элементами из поля k;2) алгебра [img: http://localhost:8080/file/041866-44.jpg] всех матриц с нулевым следом; 3) алгебра всех верхнетреугольных матриц; 4) алгебра всех диагональных матриц; 5) алгебра всех верхнетреугольных матриц с нулями на главной диагонали. Для этих алгебр ранг и полупростой ранг равны соответственно п, п-1, п, п, n(n-1).2и n-1, п-1, 0, 0, 0.