Ранг модуля

- 1) р а н г л е в о г о м о д у л я Мнад кольцом R, вложимым в тело k - размерность тензорного произведения [img: http://localhost:8080/file/041866-48.jpg], рассматриваемого как векторное пространство над k. Если [img: http://localhost:8080/file/041866-49.jpg] - кольцо целых чисел, то это определение совпадает с обычным определением ранга абелевой группы. Если тело kявляется плоским R-модулем (напр., k - тело частных кольца R), то для точной последовательности [img: http://localhost:8080/file/041866-50.jpg] выполняется следующее равенство между рангами: [img: http://localhost:8080/file/041866-51.jpg] 2) Р а н г с в о б о д н о г о м о д у л я Мнад произвольным кольцом Rопределяется как число его свободных образующих. Для колец, вложимых в тело, это определение совпадает с определением из пункта 1). В общем случае ранг свободного модуля определяется неоднозначно. Существуют кольца (называемые n-FI -кольцами), над к-рыми любой свободный модуль с не более, чем псвободными образующими, имеет однозначно определенный ранг, а для свободных модулей с числом образующих, большим п, это свойство не верно. Достаточным условием однозначности ранга свободного модуля над кольцом Rявляется существование гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/041866-52.jpg] в тело k. В этом случае понятие Р. м. распространяется на проективные модули следующим образом. Гомоморфизм j индуцирует гомоморфизм групп проективных классов [img: http://localhost:8080/file/041866-53.jpg] и р а н г о м п р о е к т и в н ог о м о д у л я Р наз. образ представителя модуля Рв [img: http://localhost:8080/file/041866-54.jpg]. Гомоморфизм j существует для произвольного коммутативного кольца R.