Распределение дробных долей

- распределение в единичном интервале [0.1) дробных долей {aj} последовательности действительных чисел aj, j= =1,2,... Последовательность дробных долей {aj}, j=1,2,..., наз. р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е нн о й в и н т е р в а л е [0,1), если для каждого интервала [img: http://localhost:8080/file/041867-5.jpg] имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/041867-6.jpg] где jn(а, b) - число первых пчленов {aj}, [img: http://localhost:8080/file/041867-7.jpg], последовательности {aj}, j=1,2,..., попавших в [ а, b). Прп этом последовательность чисел aj, j= =1,2,..., наз. р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н-н о й п о м о д у л ю 1. К р и т е р и й В е й л я (см. [1]) для равномерно Р. д. д.: бесконечная последовательность дробных долей {aj}, j=1, 2,..., равномерно распределена в единичном интервале [0, 1) тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041867-8.jpg] для любой интегрируемой по Риману на отрезке [img: http://localhost:8080/file/041867-9.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041867-10.jpg] функции f(x). Это утверждение эквивалентно следующему. Для того чтобы последовательность aj, j= 1, 2,..., была равномерно распределена по модулю 1, необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/041867-11.jpg] для каждого целого [img: http://localhost:8080/file/041867-12.jpg]. Из критерия Вейля и его оценок тригонометрии, сумм [img: http://localhost:8080/file/041867-13.jpg] следует, что если хотя бы один из коэффициентов as, [img: http://localhost:8080/file/041867-14.jpg], многочлена [img: http://localhost:8080/file/041867-15.jpg] иррационален, то последовательность дробных долей {f(n)}, n = 1, 2,..., равномерно распределена в интервале [0, 1). Понятию равномерного Р. д. д. {aj}, j-1, 2,..., можно придать количественный характер, если ввести в рассмотрение величину [img: http://localhost:8080/file/041867-16.jpg] называемую отклонением первых пчленов последовательности {aj}, j=1, 2,... (см. [2], [3]).