Расходящийся ряд

- ряд, у к-рого последовательность частичных сумм не имеет конечного предела. Напр., ряды [img: http://localhost:8080/file/041869-180.jpg] расходятся. Р. р. стали появляться в работах математиков 17-18 вв. Л. Эйлер (L. Euler) первым пришел к выводу, что нужно ставить вопрос, не чему равна сумма, а как определить сумму Р. р., и нашел подход к решению этого вопроса, близкий к современному. Р. р. до кон. 19 в. не находили применения и были почти забыты. Накопление к кон. 19 в. различных фактов математич. анализа вновь пробудило интерес к Р. р. Стал выдвигаться вопрос о возможности суммирования рядов в нек-ром смысле, отличном от обычного. П р и м е р ы. 1) Если перемножить два ряда [img: http://localhost:8080/file/041869-181.jpg] сходящихся соответственно к А и В, то полученный в результате перемножения ряд [img: http://localhost:8080/file/041869-182.jpg] (1) может оказаться расходящимся. Однако если сумму ряда (1) определить не как предел частичных сумм sn, а как [img: http://localhost:8080/file/041869-183.jpg] (2) то в этом смысле ряд (1) всегда будет сходиться (т. е. предел в (2) будет существовать) и его сумма в этом смысле равна С=АВ. 2) Ряд Фурье функции f(х), непрерывной в точке х 0 (или имеющей разрыв 1-го рода), может расходиться в этой точке. Если же сумму ряда определить по формуле (2), то в этом смысле ряд Фурье такой функции всегда будет сходиться и его сумма в этом смысле равна f(x0) (или соответственно [img: http://localhost:8080/file/041869-184.jpg], если х 0 - точка разрыва 1-го рода). 3) Степенной ряд [img: http://localhost:8080/file/041869-185.jpg] (3) сходится для [img: http://localhost:8080/file/041869-186.jpg] к сумме [img: http://localhost:8080/file/041869-187.jpg] и расходится для [img: http://localhost:8080/file/041869-188.jpg]. Если сумму ряда определить как [img: http://localhost:8080/file/041869-189.jpg] (4) где sn - частичные суммы ряда (3), то в этом смысле ряд (3) будет сходиться для всех z, удовлетворяющих условию Re z<l, причем его суммой будет функция [img: http://localhost:8080/file/041869-190.jpg] Для обобщения понятия суммы ряда в теории Р. р. рассматривают нек-рую операцию или правило, в результате к-рого Р. р. ставится в соответствие определенное число, наз. его суммой (в этом определении). Такое правило наз. суммирования, методом. Так, правило, описанное в примере 1), наз. методом суммирования средних арифметических (см. Чезаро методы суммирования). Правило, определяемое в примере 2), наз. Бореля методом суммирования. См. также Суммирование расходящихся рядов.