Рациональная особенность

- нормальная особая точка Р алгебраич. многообразия или комплексно аналитич. ространства X, допускающая разрешение особенности [img: http://localhost:8080/file/041871-74.jpg], при к-ром прямые образы [img: http://localhost:8080/file/041871-75.jpg] структурного пучка О Y тривиальны при [img: http://localhost:8080/file/041871-76.jpg]. Тогда этим свойством будет обладать и любое разрешение данной особенности. Если основное поле имеет характеристику 0, то особенность является Р. о. тогда и только тогда, когда X - многообразие Коэна - Маколея и вложение [img: http://localhost:8080/file/041871-77.jpg] дуализирующих пучков является изоморфизмом [5]. P.о. являются, например, особые точки факторпространства [img: http://localhost:8080/file/041871-78.jpg], где G - конечная группа линейных преобразований; особая точка 0 гиперповерхности [img: http://localhost:8080/file/041871-79.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041871-80.jpg] (см. [8]); торические особенности. Если [img: http://localhost:8080/file/041871-81.jpg] - г о р е н ш т е й н о в а изолированная особенность (т. о. пучок wX локально свободен) над полем [img: http://localhost:8080/file/041871-82.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041871-83.jpg] -образующая пучка [img: http://localhost:8080/file/041871-84.jpg], то Рявляется Р. о. тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041871-85.jpg] в достаточно малой окрестности Uточки Р(см. [7]). В случае, когда dim Х=2, особенность Ррациональна тогда и только тогда, когда h1(О D)=0 для каждого цикла Dна исключительной кривой [img: http://localhost:8080/file/041871-86.jpg] разрешения p. В этом случае для Р. о. все компоненты Ei кривой Еизоморфны проективной прямой Р 1, Е - дивизор с нормальными пересечениями и граф Г разрешения является деревом. Фундаментальным циклом особенности наз. минимальный цикл Z>0 на Е, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/041871-87.jpg] для всех i. В терминах цикла Zможно дать критерий рациональности: [img: http://localhost:8080/file/041871-88.jpg], а также вычислить кратность особенности и размерность касательного пространства [1]. [img: http://localhost:8080/file/041871-89.jpg] Р. о. гиперповерхностей Xв трехмерном аффинном пространстве A3 или, что эквивалентно, двумерные Р. о. кратности 2 наз. д в о й н ы м и Р. о. Двойные Р. о. имеют ряд эквивалентных характеризаций и несколько различных названий: о с о б е н н о с т и К л е й н а, о с о б е н н о с т и Д ю В а л я, п р о с т ы е о с о б е н н о с т и. Уравнения двойных Р. о. возникают как уравнения, связывающие инварианты групп симметрии правильных многогранников (см. [6]). Это соответствует характеризаций двойных Р. о. как особенностей факторпространств [img: http://localhost:8080/file/041871-90.jpg], где G - коночная подгруппа в [img: http://localhost:8080/file/041871-91.jpg]; с точностью до сопряженности такие подгруппы исчерпываются списком: С п - циклич. группа порядка п, бинарные группы диэдра Dn, группа тетраэдра Т, группа октаэдра О, группа икосаэдра I. Если p - минимальное разрешение двойной Р. о., то все [img: http://localhost:8080/file/041871-92.jpg] и взвешенный граф Г совпадает со схемой простых корней одной из полупростых алгебр Ли [img: http://localhost:8080/file/041871-93.jpg], обозначения к-рых переносятся и на особенности. С точностью до изоморфизма такая особенность определяется своим взвешенным графом Г ([3], [11]), см. таблицу, кол. 915. Двойные Р. о. могут быть охарактеризованы как двумерные горенштейновы Р. о. Они наз. также к а н он и ч е с к и м и о с о б е н н о с т я м и, т. к. это в точности те особенности, к-рые появляются на канонич. моделях алгебраич. поверхностей основного типа. Если [img: http://localhost:8080/file/041871-94.jpg] горенштейнова Р. о. произвольной размерности, то ее общее гиперповерхностное сечение есть либо рациональная, либо эллиптическая горенштейнова особенность, что позволяет, в частности, описать трехмерные Р. о. (см. [8]). В произвольной размерности справедливы следующие факты (см. [4]). 1) Деформация Р. о. есть снова Р. о. 2) Если [img: http://localhost:8080/file/041871-95.jpg] - плоский морфизм, [img: http://localhost:8080/file/041871-96.jpg], причем точка s=f(x)является Р. о. в S, а х - Р. о. слоя [img: http://localhost:8080/file/041871-97.jpg], то x- является Р. о. в X.3) Если деформация [img: http://localhost:8080/file/041871-98.jpg] имеет гладкую базу Sи допускает одновременное разрешение особенностей, то точка [img: http://localhost:8080/file/041871-99.jpg] является Р. о. тогда и только тогда, когда хявляется Р. о. в своем слое [img: http://localhost:8080/file/041871-100.jpg]). В случае dim X=2любая деформация многообразия Y, разрешающего Р. о. [img: http://localhost:8080/file/041871-101.jpg], определяет деформацию особенности Р, к-рая получается, если стянуть исключительные кривые слоев данной деформации. В результате получается морфизм [img: http://localhost:8080/file/041871-102.jpg] баз версальных деформаций многообразия Yи особенности Р. Образ [img: http://localhost:8080/file/041871-103.jpg] есть неособая неприводимая компонента в Def X, называемая к о м п о н е н т о й А р т и н а, а [img: http://localhost:8080/file/041871-104.jpg] - накрытие Галуа, группа Wк-рого может быть найдена при помощи графа Г особенности Р(см; [2], [10]). В частности, для двойной Р. о. j сюръективно и Wсовпадает с группой Вейля соответствующей алгебры Ли, т. е. версальная деформация Р. о. одновременно разрешается после накрытия Галуа базы деформации с группой Вейля W(см. [9]).