Рациональная поверхность

- двумерное алгебраич. многообразие, определенное над полем k, поле рациональных функций к-рого является чисто трансцендентным расширением поля kстепени 2. Любая Р. п. Xбирационально изоморфна проективному пространству Р 2. Геометрич. род pg и иррегулярность [img: http://localhost:8080/file/041871-105.jpg] полной гладкой Р. п. X равны 0, то есть на Xнет регулярных дифференциальных 2-форм и 1-форм. Все кратные роды [img: http://localhost:8080/file/041871-106.jpg]. гладкой полной Р. п. Xтакже, равны 0, где KX- канонич. дивизор поверхности X. Эти бирациональные инварианты выделяют Р. п. среди всех алгебраич. поверхностей, а именно, всякая гладкая полная алгебраич. поверхность с инвариантами [img: http://localhost:8080/file/041871-107.jpg] является Р. п. (к р и т е р и й р а ц и о н а л ь н о с т и К а с т е л ь н у о в о). Согласно другому к р и т е р и ю р а ц и о н а л ь н о с т и гладкая полная алгебраич. поверхность Xявляется Р. п. тогда и только тогда, когда на Xлежит неособая рациональная кривая С, индекс самопересечения к-poй [img: http://localhost:8080/file/041871-108.jpg] Каждая алгебраич. поверхность, кроме Р. п. и линейчатых поверхностей, бирационально изоморфна единственной минимальной модели. В классе Р. п. имеется счетное множество относительно минимальных моделей. Это - проективное пространство Р 2 и поверхности [img: http://localhost:8080/file/041871-109.jpg] (проективизации двумерных линейных расслоений над проективной прямой Р 1), [img: http://localhost:8080/file/041871-110.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041871-111.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041871-112.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041871-113.jpg]. Другими словами, поверхность Fn- это расслоение на рациональные кривые над рациональной кривой, у к-рого есть сечение Sn- гладкая рациональная кривая с индексом самопересечения [img: http://localhost:8080/file/041871-114.jpg]. Поверхность F0 изоморфна прямому произведению [img: http://localhost:8080/file/041871-115.jpg], а поверхности Fn получаются из F0 с помощью последовательности элементарных преобразований (см. [1]). Р. п. имеют большую группу бирациональных преобразований (т. н. г р у п п у к р е м о н о в ы х п р ео б р а з о в а н и й). Если на гладкой полной Р. п. антиканонич. пучок [img: http://localhost:8080/file/041871-116.jpg] обилен, то Xназ. п о в е р х н о с т ь ю Д е л ь П е ц ц о. Наибольшее целое число r>0 такое, что [img: http://localhost:8080/file/041871-117.jpg] для нек-рого дивизора Dна X, наз. индексом п о в е р х н о с т и Д е л ь П е ц ц о. Индекс rможет принимать значения 1, 2, 3 (см. [2]). Поверхность Дель Пеццо индекса 3 изоморфна PJ. Для поверхности Дель Пеццо Xиндекса 2 рациональное отображение [img: http://localhost:8080/file/041871-118.jpg], определяемое пучком OX(D), дает бирациональный изоморфизм на квадрику в Р 3. Поверхности Дель Пеццо индекса 1 могут быть получены пмоноидальными преобразованиями плоскости Р 2 с центрами в точках общего положения, где [img: http://localhost:8080/file/041871-119.jpg] (см. [2]).