Рациональное многообразие

- алгебраическое многообразие Xнад алгебраически замкнутым полем k, поле рациональных функций k(X)к-рого изоморфно чисто трансцендентному расширению конечной степени поля k. Другими словами, Р. м.- это алгебраич. многообразие X, бирационально изоморфное проективному пространству Р n. Полное гладкое Р. м. Xобладает следующими бирациональными инвариантами. Размерности всех пространств [img: http://localhost:8080/file/041872-2.jpg] регулярных дифференциальных k-форм на Xравны 0. Кроме того, кратный род [img: http://localhost:8080/file/041872-3.jpg] где KX- канонич. дивизор алгебраич. многообразия X, т. е. кодаировская размерность Р. м. Xравна 0. В малых размерностях перечисленные выше инварианты однозначно выделяют класс Р. м. среди всех алгебраич. многообразий. Так, если [img: http://localhost:8080/file/041872-4.jpg] и род алгебраич. кривой Xравен 0, то X - рациональная кривая. Если [img: http://localhost:8080/file/041872-5.jpg] а арифметич. род [img: http://localhost:8080/file/041872-6.jpg] и кратный род Р 2=0, то X - рациональная поверхность. Однако в случае [img: http://localhost:8080/file/041872-7.jpg] нет хорошего критерия рациональности из-за отрицательного решения Люрота проблемы.